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一般相対論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院物理一般相対論

自然単位系 $G = c = ℏ = k_{B} = 1$ とし、電磁気はガウス単位系（ $4 π ε_{0} = 1$ ）で表す。計量の符号は $(-, +, +, +)$ とする。質量 $M$ 、電荷 $Q$ のライスナー・ノルドシュトロム・ブラックホールの計量は
$d s^{2} = - f (r) d t^{2} + \frac{d r ^{2}}{f ( r )} + r^{2} (d θ^{2} + sin^{2} θ d ϕ^{2}), f (r) = 1 - \frac{2 M}{r} + \frac{Q ^{2}}{r ^{2}}$
で与えられる。ここで $0 < Q < M$ （極限でないブラックホール）とする。外側の地平面 $r = r_{+}$ における表面重力 $κ$ からホーキング温度 $T = κ / (2 π)$ が定まる。

電荷 $Q$ を一定に保ったときの熱容量 $C_{Q} = (\frac{\partial M}{\partial T})_{Q}$ が発散する（符号を変える）ときの比 $Q / M$ の値を、根号を用いた正確な値で求めよ。

この問題で使うもの

ブラックホールの地平面と表面重力（説明と入口の問題）
ホーキング温度・エントロピーと熱容量（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（99 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず地平面の位置 $r_{\pm}$ を求め、表面重力 $κ = \frac{1}{2} f^{'} (r_{+})$ からホーキング温度を $r_{+}$ , $r_{-}$ で表そう。

ヒント 2

$r_{+} r_{-} = Q^{2}$ を使うと、 $Q$ を固定したとき $T$ と $M$ はどちらも $r_{+}$ だけの関数になる。 $C_{Q} = (\partial M / \partial r_{+}) / (\partial T / \partial r_{+})$ と書いて、どちらが $0$ になりうるかを考えよう。

ヒント 3

$T = \frac{1}{4 π} (\frac{1}{r _{+}} - \frac{Q ^{2}}{r _{+}^{3}})$ である。 $\partial T / \partial r_{+} = 0$ から $r_{+}$ と $Q$ の関係を求め、それを $M = \frac{1}{2} (r_{+} + Q^{2} / r_{+})$ に代入しよう。

答えと解説

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\frac{3}{2}

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解説を読む

地平面 $f (r) = 0$ すなわち $r^{2} - 2 M r + Q^{2} = 0$ を解くと
$r_{\pm} = M \pm M^{2} - Q^{2}$
となる。解と係数の関係から $r_{+} + r_{-} = 2 M$ , $r_{+} r_{-} = Q^{2}$ であり、 $f (r) = \frac{( r - r _{+} ) ( r - r _{-} )}{r ^{2}}$ と書ける。

表面重力 静的な計量 $- f d t^{2} + f^{- 1} d r^{2}$ では、キリングベクトル $\partial_{t}$ に対する表面重力は $κ = \frac{1}{2} f^{'} (r_{+})$ である（地平面近傍でユークリッド化したとき円錐特異点が現れない条件からも同じ結果が得られる）。 $f (r)$ を微分して $r = r_{+}$ を代入すると
$f^{'} (r_{+}) = \frac{r _{+} - r _{-}}{r _{+}^{2}}$
である。したがって
$κ = \frac{r _{+} - r _{-}}{2 r _{+}^{2}}, T = \frac{r _{+} - r _{-}}{4 π r _{+}^{2}} .$
（エントロピーは $S = A /4 = π r_{+}^{2}$ で、第一法則 $d M = T d S + Φ d Q$ と整合する。）

$Q$ 一定での温度 $r_{-} = Q^{2} / r_{+}$ を代入すると、 $T$ は $r_{+}$ だけの関数として
$T (r_{+}) = \frac{1}{4 π} (\frac{1}{r _{+}} - \frac{Q ^{2}}{r _{+}^{3}})$
と表せる。質量も $M = \frac{1}{2} (r_{+} + \frac{Q ^{2}}{r _{+}})$ と表せる。

熱容量 連鎖律より
$C_{Q} = \frac{( \partial M / \partial r _{+} ) _{Q}}{( \partial T / \partial r _{+} ) _{Q}}$
である。分子と分母はそれぞれ
$(\frac{\partial M}{\partial r _{+}})_{Q} = \frac{1}{2} (1 - \frac{Q ^{2}}{r _{+}^{2}}) = \frac{r _{+} - r _{-}}{2 r _{+}} > 0,$
$(\frac{\partial T}{\partial r _{+}})_{Q} = \frac{1}{4 π} (- \frac{1}{r _{+}^{2}} + \frac{3 Q ^{2}}{r _{+}^{4}})$
となる。分子は極限でない場合（ $r_{+} > r_{-}$ ）には常に正なので、 $C_{Q}$ が発散するのは分母が $0$ になるときである。その条件は
$r_{+}^{2} = 3 Q^{2} ⟹ r_{+} = 3 Q .$
この前後で分母の符号が変わるので、 $C_{Q}$ の符号も変わる。

$Q / M$ の値 このとき
$M = \frac{1}{2} (3 Q + \frac{Q}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 Q}{3} = \frac{2 Q}{3}$
となる。よって
$\frac{Q}{M} = \frac{3}{2} .$
（ $0 < 3 /2 < 1$ なので、極限でないという条件を満たす。 $Q / M < 3 /2$ では $C_{Q} < 0$ 、 $Q / M > 3 /2$ では $C_{Q} > 0$ である。）

別解

外側の地平面は $r_{\pm} = M \pm M^{2} - Q^{2}$ で、表面重力は $κ = f^{'} (r_{+}) /2 = (r_{+} - r_{-}) / (2 r_{+}^{2})$ である。 $r_{+} r_{-} = Q^{2}$ より $r_{-} = Q^{2} / r_{+}$ なので、
$T = \frac{κ}{2 π} = \frac{r _{+}^{2} - Q ^{2}}{4 π r _{+}^{3}} = \frac{1}{4 π} (r_{+}^{- 1} - Q^{2} r_{+}^{- 3})$
となる。また $M = \frac{1}{2} (r_{+} + Q^{2} / r_{+})$ である。

$Q$ を一定にして $r_{+}$ で微分すると、
$\frac{d M}{d r _{+}} = \frac{1}{2} (1 - \frac{Q ^{2}}{r _{+}^{2}}) > 0 (r_{+} > Q),$
$\frac{d T}{d r _{+}} = \frac{1}{4 π} (- r_{+}^{- 2} + 3 Q^{2} r_{+}^{- 4}) = \frac{3 Q ^{2} - r _{+}^{2}}{4 π r _{+}^{4}} .$
熱容量は $C_{Q} = \frac{d M / d r _{+}}{d T / d r _{+}}$ である。分子は $r_{+} > Q$ で 0 にならないので、 $C_{Q}$ が発散するのは $d T / d r_{+} = 0$ 、すなわち $r_{+}^{2} = 3 Q^{2}$ （ $r_{+} = 3 Q$ ）のときである。この点の前後で $d T / d r_{+}$ の符号が変わるので、 $C_{Q}$ も符号を変える。

このときの質量は
$M = \frac{1}{2} (3 Q + \frac{Q}{3}) = \frac{2 Q}{3}$
である。よって $Q / M = 3 /2 \approx 0.866$ となる。これは $0 < Q < M$ を満たす。

検算： $M = 2 Q / 3$ を $r_{+} = M + M^{2} - Q^{2}$ に代入する。 $M^{2} = 4 Q^{2} /3$ より $M^{2} - Q^{2} = Q / 3$ で、 $r_{+} = 3 Q / 3 = 3 Q$ となり、上の結果と一致する。

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