一般相対論の問題

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）のシュワルツシルト時空
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
の赤道面 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 上で、質量をもつ粒子が時間的測地線に沿って運動する。固有時を $\tau$、$\dot{}=\frac{d}{d\tau }$ とし、保存量を
$$\tilde{E}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t},\tilde{L}=r^2\dot{\varphi }$$
で定める。粒子が半径 $r=8M$ の円軌道を回っているとき、単位質量あたりのエネルギー $\tilde{E}$ を求めよ。答えは分母を有理化した根号の形で書け。

質量 $M$ の天体がつくるシュワルツシルト時空
$$d{s}^2=\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2-{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2-r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
を考える。単位系は $G=c=1$、計量の符号は $(+,-,-,-)$ とする。

質量をもつ試験粒子が赤道面 $\theta =\pi /2$ 内で、半径 $r_0(>6M)$ の安定な円軌道を回っている。この粒子に、角運動量 $L$（単位質量あたり）を変えずに微小な動径方向の摂動を加えると、軌道はわずかに楕円的になり、動径座標 $r$ は円軌道の値のまわりで微小振動する。

動径座標が 1 回振動する間（ある近点から次の近点まで）に、粒子が掃く方位角 $\Delta \varphi$ がちょうど $4\pi$ になる（すなわち、近点の移動角が 1 回の動径振動あたりちょうど $2\pi$ になる）とき、$r_0/M$ の値を求めよ。摂動については 1 次の近似で考えてよい。

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）のシュワルツシルト時空
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
の赤道面 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 上を、質量をもつ粒子が時間的測地線に沿って運動している。固有時を $\tau$、$\dot{}=\frac{d}{d\tau }$ とし、保存量 $\tilde{E}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t}$, $\tilde{L}=r^2\dot{\varphi }$ を用いると、動径方程式は
$${\dot{r}}^2={\tilde{E}}^2-V(r),V(r)=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(1+\frac{{\tilde{L}}^2}{r^2}\right)$$
となる。

粒子の軌道は半径 $r_0=8M$ の円軌道からわずかにずれており、$r$ は $r_0$ のまわりで微小な振動をしている。$r$ が最小になる点（近点）を通過してから次に近点を通過するまでの間に、方位角 $\varphi$ が増える量 $\Delta \varphi$ を、動径振動の振幅についての最低次の近似で求めよ。

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）のシュワルツシルト時空
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
の赤道面 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 上を光が進む。アフィン・パラメータを $\lambda$ とし、保存量を $E=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{dt}{d\lambda }$, $L=r^2\frac{d\varphi }{d\lambda }$、衝突径数を $b=\frac{L}{E}$ とする。

無限遠から衝突径数 $b=4\sqrt{2}M$ で入射した光が、ブラックホールに最も近づくときの半径 $r_{\min }$ を $M$ で表せ。

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）の天体の外側の時空がシュワルツシルト計量
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
で表されるとする。半径 $r=4M$ に静止した（$r,\theta ,\varphi$ が一定の）観測者 A が、自分の固有時で測って振動数 ${\nu }_A$ の光を放射状に外向きに送り出し、半径 $r=9M$ に静止した観測者 B がこれを受け取る。B が自分の固有時で測る振動数を ${\nu }_B$ とするとき、比 $\frac{{\nu }_B}{{\nu }_A}$ を求めよ。答えは分母を有理化した根号の形で書け。