一般相対論の問題

質量 $M$ のシュワルツシルト時空を考える。$G=c=1$ の単位系を用い、計量の符号は $(-,+,+,+)$ とする。線素は
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
である。赤道面 $\theta =\pi /2$ 内を運動する質点（静止質量 $m$、$m\ll M$ で時空への反作用は無視する）の時間的測地線を考え、固有時を $\tau$、4 元速度を $u^{\mu }=d{x}^{\mu }/d\tau$ として、保存量 $\tilde{E}=-u_t$（単位静止質量あたりのエネルギー）と $\tilde{L}=u_{\varphi }$（単位静止質量あたりの角運動量）を定める。

半径 $r_0$ の安定な円軌道から、$\tilde{L}$ を変えずにわずかに半径方向へずらした、離心率が十分小さい軌道（円軌道まわりの線形摂動で記述できる軌道）を考える。この軌道は、半径方向にちょうど $2$ 回振動する間に $\varphi$ がちょうど $3\times 2\pi$ だけ増加して閉じるという。このときの円軌道（半径 $r_0$）の $\tilde{E}$ の値を、根号を含む正確な形で求めよ。

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）のシュワルツシルト時空
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
の赤道面 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 上を、質量をもつ粒子が時間的測地線に沿って運動している。固有時を $\tau$、$\dot{}=\frac{d}{d\tau }$ とし、保存量 $\tilde{E}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t}$, $\tilde{L}=r^2\dot{\varphi }$ を用いると、動径方程式は
$${\dot{r}}^2={\tilde{E}}^2-V(r),V(r)=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(1+\frac{{\tilde{L}}^2}{r^2}\right)$$
となる。

粒子の軌道は半径 $r_0=8M$ の円軌道からわずかにずれており、$r$ は $r_0$ のまわりで微小な振動をしている。$r$ が最小になる点（近点）を通過してから次に近点を通過するまでの間に、方位角 $\varphi$ が増える量 $\Delta \varphi$ を、動径振動の振幅についての最低次の近似で求めよ。

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）のシュワルツシルト時空
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
の赤道面 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 上で、質量をもつ粒子が時間的測地線に沿って運動する。固有時を $\tau$、$\dot{}=\frac{d}{d\tau }$ とし、保存量を
$$\tilde{E}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t},\tilde{L}=r^2\dot{\varphi }$$
で定める。粒子が半径 $r=8M$ の円軌道を回っているとき、単位質量あたりのエネルギー $\tilde{E}$ を求めよ。答えは分母を有理化した根号の形で書け。

自然単位系 $G=c=\hslash =k_B=1$ とし、電磁気はガウス単位系（$4\pi {\epsilon }_0=1$）で表す。計量の符号は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$、電荷 $Q$ のライスナー・ノルドシュトロム・ブラックホールの計量は
$$d{s}^2=-f(r)d{t}^2+\frac{d{r}^2}{f(r)}+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right),f(r)=1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}$$
で与えられる。ここで $0<Q<M$（極限でないブラックホール）とする。外側の地平面 $r=r_{+}$ における表面重力 $\kappa$ からホーキング温度 $T=\kappa /(2\pi )$ が定まる。

電荷 $Q$ を一定に保ったときの熱容量 $C_Q={\left(\frac{\partial M}{\partial T}\right)}_Q$ が発散する（符号を変える）ときの比 $Q/M$ の値を、根号を用いた正確な値で求めよ。

自然単位系 $G=c=\hslash =k_B=1$ を用い、計量の符号を $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M(>0)$、角運動量 $J$ のカー・ブラックホールの計量は、ボイヤー・リンキスト座標で
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2Mr}{\Sigma }\right)d{t}^2-\frac{4Mar{\sin }^2\theta }{\Sigma }dtd\varphi +\frac{\Sigma }{\Delta }d{r}^2+\Sigma d{\theta }^2+\left(r^2+a^2+\frac{2M{a}^{2}r{\sin }^2\theta }{\Sigma }\right){\sin }^2\theta d{\varphi }^2$$
で与えられる。ここで $a=J/M$, $\Sigma =r^2+a^2{\cos }^2\theta$, $\Delta =r^2-2Mr+a^2$ であり、$0\le a<M$ とする。

このブラックホールのホーキング温度を $T=\kappa /(2\pi )$（$\kappa$ は事象の地平面の表面重力）、ベッケンシュタイン・ホーキング・エントロピーを $S=A/4$（$A$ は事象の地平面の面積）とする。角運動量 $J$ を一定に保ったときの熱容量
$$C_J=T{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_J$$
を、$J=\frac{\sqrt{3}}{2}{M}^2$ の状態において $M$ を用いて表せ。