一般相対論の問題

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）のシュワルツシルト時空
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
の赤道面 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 上で、質量をもつ粒子が時間的測地線に沿って運動する。固有時を $\tau$、$\dot{}=\frac{d}{d\tau }$ とし、保存量を
$$\tilde{E}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t},\tilde{L}=r^2\dot{\varphi }$$
で定める。粒子が半径 $r=8M$ の円軌道を回っているとき、単位質量あたりのエネルギー $\tilde{E}$ を求めよ。答えは分母を有理化した根号の形で書け。

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）の天体の外側の時空がシュワルツシルト計量
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
で表されるとする。半径 $r=4M$ に静止した（$r,\theta ,\varphi$ が一定の）観測者 A が、自分の固有時で測って振動数 ${\nu }_A$ の光を放射状に外向きに送り出し、半径 $r=9M$ に静止した観測者 B がこれを受け取る。B が自分の固有時で測る振動数を ${\nu }_B$ とするとき、比 $\frac{{\nu }_B}{{\nu }_A}$ を求めよ。答えは分母を有理化した根号の形で書け。

自然単位系 $G=c=\hslash =k_B=1$ を用い、計量の符号は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M>0$ のシュワルツシルト・ブラックホール
$$d{s}^2=-f(r)d{t}^2+\frac{d{r}^2}{f(r)}+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right),f(r)=1-\frac{2M}{r}$$
を考える。ホーキング温度は表面重力 $\kappa$ を用いて $T=\frac{\kappa }{2\pi }$ で与えられ、表面重力は $\kappa =\frac{1}{2}{f}^{\prime }(r_{+})$（$r_{+}$ は事象の地平面の半径）で計算できるとする。このブラックホールの熱容量 $C=\frac{dM}{dT}$ を $M$ を用いて表せ。

単位系 $G=c=1$（電荷はガウス単位系に合わせて規格化）を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）、電荷 $Q$ の帯電ブラックホール（ライスナー・ノルドシュトローム時空）の計量は
$$d{s}^2=-f(r)d{t}^2+\frac{d{r}^2}{f(r)}+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right),f(r)=1-\frac{2M}{r}+\frac{Q^2}{r^2}$$
で与えられる。$Q^2=\frac{3}{4}{M}^2$ のとき、外側の事象の地平面 $r=r_{+}$ での表面重力 $\kappa =\frac{1}{2}{f}^{\prime }(r_{+})$ を $M$ で表せ。

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）のシュワルツシルト時空
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
の赤道面 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 上を、質量をもつ粒子が時間的測地線に沿って運動している。固有時を $\tau$、$\dot{}=\frac{d}{d\tau }$ とし、保存量 $\tilde{E}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t}$, $\tilde{L}=r^2\dot{\varphi }$ を用いると、動径方程式は
$${\dot{r}}^2={\tilde{E}}^2-V(r),V(r)=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(1+\frac{{\tilde{L}}^2}{r^2}\right)$$
となる。

粒子の軌道は半径 $r_0=8M$ の円軌道からわずかにずれており、$r$ は $r_0$ のまわりで微小な振動をしている。$r$ が最小になる点（近点）を通過してから次に近点を通過するまでの間に、方位角 $\varphi$ が増える量 $\Delta \varphi$ を、動径振動の振幅についての最低次の近似で求めよ。