光の測地線と光の曲がり

光子の有効ポテンシャル $\frac{1}{b ^{2}} = \frac{1}{r ^{2}} (1 - \frac{2 M}{r})$ の比較から光子球 $r = 3 M$ と臨界衝突径数 $b_{c} = 33 M$ を求め、軌道方程式 $u^{''} + u = 3 M u^{2}$ を摂動で解いて弱い場の光の曲がり角 $\frac{4 M}{b}$ を求められる

前提

シュワルツシルト時空の有効ポテンシャルと円軌道（大学院物理一般相対論）
定数係数 2 階線形（非斉次）（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
定数係数 2 階線形（非斉次）（大学数学微分方程式）

説明

シュワルツシルト時空（質量 $M$ の球対称な天体のまわり）を進む光の経路を、質点のときと同じく保存量と有効ポテンシャルで調べる技能です。光子の有効ポテンシャルの山の位置から、光が円軌道を回れる光子球 $r = 3 M$ と、光が吸い込まれるか逃げるかの境目の衝突径数 $b_{c} = 33 M$ がわかります。さらに軌道の方程式を弱い重力の近似で解くと、太陽のそばを通る星の光が曲がる角 $\frac{4 M}{b}$ （SI 単位では $\frac{4 GM}{c ^{2} b}$ ）が得られ、重力レンズやブラックホールの影の大きさの見積もりに使えます。

なぜそうしてよいのか

以下 $G = c = 1$ 、計量の符号は $(-, +, +, +)$ とし、シュワルツシルト計量の赤道面 $θ = π /2$ を考えます。光の経路は $g_{μν} u^{μ} u^{ν} = 0$ を満たす測地線（ヌル測地線）で、固有時間がないのでアフィンパラメータ $λ$ で微分を表し（上付きの点）、保存量 $E = (1 - \frac{2 M}{r}) t ˙$ 、 $L = r^{2} ϕ ˙$ を使います。規格化条件 $- (1 - \frac{2 M}{r}) t ˙^{2} + \frac{r ˙ ^{2}}{1 - 2 M / r} + r^{2} ϕ ˙^{2} = 0$ に代入して $1 - \frac{2 M}{r}$ を掛けると $r ˙^{2} = E^{2} - (1 - \frac{2 M}{r}) \frac{L ^{2}}{r ^{2}}$ です（質点の式の「 $1 +$ 」が「 $0 +$ 」に変わったもの）。 $λ$ の目盛りは定数倍で変えられるので $E, L$ の個々の値には意味がなく、比 $b = L / E$ （衝突径数。平坦な遠方での直線経路と中心との距離）だけが軌道を決めます。 $L^{2}$ で割って $\frac{r ˙ ^{2}}{L ^{2}} = \frac{1}{b ^{2}} - W (r), W (r) = \frac{1}{r ^{2}} (1 - \frac{2 M}{r})$ となり、光は $W (r) \leq \frac{1}{b ^{2}}$ の領域しか通れません。

$W^{'} (r) = - \frac{2}{r ^{3}} + \frac{6 M}{r ^{4}} = 0$ より $W$ は $r = 3 M$ で最大値 $W (3 M) = \frac{1}{9 M ^{2}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27 M ^{2}}$ をとります。 $\frac{1}{b ^{2}} = W (3 M)$ なら光はこの山の頂上に留まり（光子球、ただし不安定な円軌道）、その衝突径数が $b_{c} = 33 M$ です。遠方から来た光は、 $b > b_{c}$ なら山にぶつかって折り返し（近点を通って）逃げ、 $b < b_{c}$ なら山を越えて中心に落ち込みます。

軌道の形を求めるには $u = 1/ r$ とおき、 $ϕ$ を変数にします。 $\frac{d u}{d ϕ} = - \frac{1}{r ^{2}} \frac{r ˙}{ϕ ˙} = - \frac{r ˙}{L}$ なので $(\frac{d u}{d ϕ})^{2} = \frac{1}{b ^{2}} - u^{2} (1 - 2 M u)$ 。これを $ϕ$ で微分して $2 u^{'}$ で割る（ $u^{'} \neq = 0$ の区間で）と $u^{''} + u = 3 M u^{2}$ です（ $^{'}$ は $ϕ$ 微分）。 $M = 0$ なら $u^{''} + u = 0$ の解 $u_{0} = \frac{s i n ϕ}{b}$ はちょうど中心から距離 $b$ の直線 $r sin ϕ = b$ です。 $M u ≪ 1$ （弱い場）なら右辺の $3 M u^{2}$ に $u_{0}$ を代入して補正 $u_{1}$ を求める、という 1 次の摂動が使えます。これは定数係数 2 階線形の非斉次方程式です。

手順

保存量 $E = (1 - \frac{2 M}{r}) t ˙, L = r^{2} ϕ ˙$ とヌル条件から $\frac{r ˙ ^{2}}{L ^{2}} = \frac{1}{b ^{2}} - \frac{1}{r ^{2}} (1 - \frac{2 M}{r})$ （ $b = L / E$ ）を書く
$W (r) = \frac{1}{r ^{2}} (1 - \frac{2 M}{r})$ の最大を $W^{'} (r) = 0$ から求め、光子球 $r = 3 M$ と臨界衝突径数 $b_{c} = \frac{1}{W ( 3 M )} = 33 M$ を得る。 $b < b_{c}$ なら捕獲、 $b > b_{c}$ なら散乱
$u = 1/ r$ とおいて軌道方程式 $u^{''} + u = 3 M u^{2}$ を書く
0 次の解 $u_{0} = \frac{s i n ϕ}{b}$ を右辺に代入し、 $u_{1}^{''} + u_{1} = \frac{3 M}{b ^{2}} sin^{2} ϕ = \frac{3 M}{2 b ^{2}} (1 - cos 2 ϕ)$ の特殊解を未定係数法で求める: $u_{1} = \frac{M}{b ^{2}} (1 + cos^{2} ϕ)$
$u = u_{0} + u_{1} = 0$ （無限遠）となる角を求める。 $ϕ = - δ$ （ $δ$ は小さい）とおくと $- \frac{δ}{b} + \frac{2 M}{b ^{2}} = 0$ より $δ = \frac{2 M}{b}$ 。入射側と出射側で同じだけ曲がるので、曲がり角は $2 δ = \frac{4 M}{b}$ （SI 単位では $\frac{4 GM}{c ^{2} b}$ ）

例題

太陽の縁をかすめて通る星の光の曲がり角を、弱い場の近似で求めよ。太陽の質量 $M_{⊙}$ について $\frac{G M _{⊙}}{c ^{2}} = 1.48 \times 1 0^{3} m$ 、太陽の半径を $R_{⊙} = 6.96 \times 1 0^{8} m$ とし、衝突径数 $b$ を $R_{⊙}$ に等しいとする（ $G$ は万有引力定数、 $c$ は光速）。答えはラジアン単位で有効数字 3 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1・2: $b = R_{⊙}$ は臨界衝突径数 $33 \frac{G M _{⊙}}{c ^{2}} \approx 7.7 \times 1 0^{3} m$ よりはるかに大きいので、光は捕獲されずに散乱される。また $\frac{G M _{⊙}}{c ^{2} b} \approx 2 \times 1 0^{- 6} ≪ 1$ なので弱い場の近似が使える。

手順 3・4: $G = c = 1$ の単位で軌道方程式 $u^{''} + u = 3 M u^{2}$ を 1 次の摂動で解くと $u = \frac{s i n ϕ}{b} + \frac{M}{b ^{2}} (1 + cos^{2} ϕ)$ 。

手順 5: $u = 0$ となる角から曲がり角は $\frac{4 M}{b}$ 。SI 単位に戻すと $M \to \frac{G M _{⊙}}{c ^{2}}$ として $Δ = \frac{4 G M _{⊙}}{c ^{2} R _{⊙}} = \frac{4 \times 1.48 \times 1 0 ^{3}}{6.96 \times 1 0 ^{8}} = \frac{5.92 \times 1 0 ^{3}}{6.96 \times 1 0 ^{8}} \approx 8.51 \times 1 0^{- 6} .$ （角度の秒に直すと約 $1.7 5^{''}$ である。）

答え: $8.51 \times 1 0^{- 6}$

よくある誤り

光にも質点の式 $r ˙^{2} = E^{2} - (1 - \frac{2 M}{r}) (1 + \frac{L ^{2}}{r ^{2}})$ を使い、光子球を最内安定円軌道の $6 M$ などとしてしまう誤り。正しくは光はヌル測地線なので規格化条件の右辺が 0 で、 $W (r) = \frac{1}{r ^{2}} (1 - \frac{2 M}{r})$ の最大から光子球は $r = 3 M$ 、しかもそれは山頂の不安定な円軌道である。
臨界衝突径数を光子球の半径そのもの $b_{c} = 3 M$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{1}{b _{c}^{2}} = W (3 M) = \frac{1}{27 M ^{2}}$ より $b_{c} = 33 M \approx 5.2 M$ で、 $3 M$ より大きい（重力が光を引き寄せるので、遠方で $3 M$ より外側を狙った光も捕まる）。
曲がり角を、片側の角 $δ = \frac{2 M}{b}$ だけで答えてしまう誤り。正しくは入射側の漸近線が $ϕ = - δ$ 、出射側が $ϕ = π + δ$ にずれるので、全体の曲がり角は $2 δ = \frac{4 M}{b}$ 。
特殊解に $\frac{3 M}{b ^{2}} sin^{2} ϕ$ の右辺をそのまま定数とみて $u_{1} = \frac{3 M}{b ^{2}} sin^{2} ϕ$ としてしまう誤り。正しくは $sin^{2} ϕ = \frac{1 - c o s 2 ϕ}{2}$ と直し、定数項に対して $\frac{3 M}{2 b ^{2}}$ 、 $cos 2 ϕ$ の項に対して $- 3 A = - \frac{3 M}{2 b ^{2}}$ より $A = \frac{M}{2 b ^{2}}$ を求め、 $u_{1} = \frac{3 M}{2 b ^{2}} + \frac{M}{2 b ^{2}} cos 2 ϕ = \frac{M}{b ^{2}} (1 + cos^{2} ϕ)$ とする。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
単位系 $G = c = 1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-, +, +, +)$ とする。質量 $M$ （ $M > 0$ ）のシュワルツシルト時空
$d s^{2} = - (1 - \frac{2 M}{r}) d t^{2} + (1 - \frac{2 M}{r})^{- 1} d r^{2} + r^{2} (d θ^{2} + sin^{2} θ d ϕ^{2})$
の赤道面 $θ = \frac{π}{2}$ 上を光が進む。アフィン・パラメータを $λ$ とし、保存量を $E = (1 - \frac{2 M}{r}) \frac{d t}{d λ}$ , $L = r^{2} \frac{d ϕ}{d λ}$ 、衝突径数を $b = \frac{L}{E}$ とする。
無限遠から衝突径数 $b = 42 M$ で入射した光が、ブラックホールに最も近づくときの半径 $r_{m i n}$ を $M$ で表せ。