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一般相対論の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院物理一般相対論

単位系 $G = c = 1$ （電荷はガウス単位系に合わせて規格化）を用い、計量の符号の流儀は $(-, +, +, +)$ とする。質量 $M$ （ $M > 0$ ）、電荷 $Q$ の帯電ブラックホール（ライスナー・ノルドシュトローム時空）の計量は
$d s^{2} = - f (r) d t^{2} + \frac{d r ^{2}}{f ( r )} + r^{2} (d θ^{2} + sin^{2} θ d ϕ^{2}), f (r) = 1 - \frac{2 M}{r} + \frac{Q ^{2}}{r ^{2}}$
で与えられる。 $Q^{2} = \frac{3}{4} M^{2}$ のとき、外側の事象の地平面 $r = r_{+}$ での表面重力 $κ = \frac{1}{2} f^{'} (r_{+})$ を $M$ で表せ。

この問題で使うもの

ブラックホールの地平面と表面重力（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（98 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「ブラックホールの地平面と表面重力」を使う。まず $f (r) = 0$ から地平面の半径 $r_{\pm}$ を求め、次に $κ = \frac{1}{2} f^{'} (r_{+})$ を計算する。

ヒント 2

$f (r) = 0$ は $r^{2} - 2 M r + Q^{2} = 0$ と同じで、 $r_{\pm} = M \pm M^{2} - Q^{2}$ 。また $f (r) = \frac{( r - r _{+} ) ( r - r _{-} )}{r ^{2}}$ と因数分解できる。

ヒント 3

$Q^{2} = \frac{3}{4} M^{2}$ では $r_{+} = \frac{3}{2} M$ , $r_{-} = \frac{1}{2} M$ 。 $f^{'} (r_{+}) = \frac{r _{+} - r _{-}}{r _{+}^{2}}$ を使う。

答えと解説

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\frac{2}{9 M}

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解説を読む

地平面の半径 地平面は $g^{r r} = f (r) = 0$ となる半径である。 $r^{2}$ をかけると
$r^{2} - 2 M r + Q^{2} = 0 ⟹ r_{\pm} = M \pm M^{2} - Q^{2} .$
$Q^{2} = \frac{3}{4} M^{2}$ を代入すると $M^{2} - \frac{3}{4} M^{2} = \frac{M}{2}$ なので
$r_{+} = \frac{3}{2} M, r_{-} = \frac{1}{2} M .$
外側の地平面は $r_{+} = \frac{3}{2} M$ である。

表面重力 $f (r) = \frac{( r - r _{+} ) ( r - r _{-} )}{r ^{2}}$ と書けるので、 $r = r_{+}$ で微分すると $(r - r_{+})$ の因子を微分した項だけが残り
$f^{'} (r_{+}) = \frac{r _{+} - r _{-}}{r _{+}^{2}} .$
よって
$κ = \frac{1}{2} f^{'} (r_{+}) = \frac{r _{+} - r _{-}}{2 r _{+}^{2}} = \frac{M}{2 \cdot \frac{9}{4} M ^{2}} = \frac{2}{9 M} .$

検算（直接微分） $f^{'} (r) = \frac{2 M}{r ^{2}} - \frac{2 Q ^{2}}{r ^{3}} = \frac{2 ( M r - Q ^{2} )}{r ^{3}}$ に $r = \frac{3}{2} M$ を代入すると
$f^{'} (r_{+}) = \frac{2 ( \frac{3}{2} M ^{2} - \frac{3}{4} M ^{2} )}{\frac{27}{8} M ^{3}} = \frac{\frac{3}{2} M ^{2} \cdot 8}{27 M ^{3}} = \frac{4}{9 M},$
なので $κ = \frac{2}{9 M}$ となり一致する。

（ $Q = 0$ のシュワルツシルトでは $κ = \frac{1}{4 M}$ で、 $\frac{2}{9 M} < \frac{1}{4 M}$ 。電荷があると表面重力は小さくなり、 $Q^{2} = M^{2}$ （極限ブラックホール）で $r_{+} = r_{-}$ となって $κ = 0$ になる。）

別解

$f (r) = 0$ より $r^{2} - 2 M r + Q^{2} = 0$ 、 $r_{\pm} = M \pm M^{2} - Q^{2}$ 。 $Q^{2} = \frac{3}{4} M^{2}$ で $M^{2} - Q^{2} = \frac{M}{2}$ 、 $r_{+} = \frac{3}{2} M$ 、 $r_{-} = \frac{1}{2} M$ 。
$f^{'} (r) = \frac{2 M}{r ^{2}} - \frac{2 Q ^{2}}{r ^{3}}$ 。 $r_{+} = \frac{3}{2} M$ で $\frac{2 M}{9 M ^{2} /4} = \frac{8}{9 M}$ 、 $\frac{2 \cdot \frac{3}{4} M ^{2}}{27 M ^{3} /8} = \frac{3 M ^{2} /2 \cdot 8}{27 M ^{3}} = \frac{4}{9 M}$ 。 $f^{'} (r_{+}) = \frac{8}{9 M} - \frac{4}{9 M} = \frac{4}{9 M}$ 。
$κ = \frac{1}{2} f^{'} (r_{+}) = \frac{2}{9 M}$ 。
検算: 公式 $κ = \frac{r _{+} - r _{-}}{2 r _{+}^{2}} = \frac{M}{2 \cdot 9 M ^{2} /4} = \frac{2}{9 M}$ と一致。

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