一般相対論の問題

自然単位系 $c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+)$ とする。座標 $(t,x)$ をもつ 2 次元時空の計量が
$$d{s}^2=-e^{2kx}d{t}^2+d{x}^2$$
で与えられている。ここで $k$ は正の定数である。

質量をもつ粒子が、ある時刻に $x=0$ で $\frac{dx}{d\tau }=0$ となっており、その後は時間的測地線に沿って運動する（$\tau$ は固有時、$u^{\mu }=\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }$）。粒子が $x=-L$（$L>0$ は定数）に達したときの $\left|\frac{dx}{d\tau }\right|$ を $k$ と $L$ で表せ。

$2+1$ 次元時空の計量
$$d{s}^2=-d{t}^2+t^{2p}d{x}^2+t^{2q}d{y}^2$$
を考える。ここで $t>0$、$p,q$ は実数の定数、$c=1$ とし、計量の符号は $(-,+,+)$ とする。曲率の定義は
$$R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }={\partial }_{\mu }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\rho }-{\partial }_{\nu }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\rho }+{\Gamma }_{\mu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\nu \sigma }^{\lambda }-{\Gamma }_{\nu \lambda }^{\rho }{\Gamma }_{\mu \sigma }^{\lambda },R_{\mu \nu }=R^{\rho }{}_{\mu \rho \nu },R=g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }$$
とし、$\Gamma$ はレビ＝チビタ接続とする。このときリッチスカラー $R$ を $p,q,t$ で表せ。

質量 $M$ のシュワルツシルト時空を考える。$G=c=1$ の単位系を用い、計量の符号は $(-,+,+,+)$ とする。線素は
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
である。赤道面 $\theta =\pi /2$ 内を運動する質点（静止質量 $m$、$m\ll M$ で時空への反作用は無視する）の時間的測地線を考え、固有時を $\tau$、4 元速度を $u^{\mu }=d{x}^{\mu }/d\tau$ として、保存量 $\tilde{E}=-u_t$（単位静止質量あたりのエネルギー）と $\tilde{L}=u_{\varphi }$（単位静止質量あたりの角運動量）を定める。

半径 $r_0$ の安定な円軌道から、$\tilde{L}$ を変えずにわずかに半径方向へずらした、離心率が十分小さい軌道（円軌道まわりの線形摂動で記述できる軌道）を考える。この軌道は、半径方向にちょうど $2$ 回振動する間に $\varphi$ がちょうど $3\times 2\pi$ だけ増加して閉じるという。このときの円軌道（半径 $r_0$）の $\tilde{E}$ の値を、根号を含む正確な形で求めよ。

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）のシュワルツシルト時空
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
の赤道面 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 上で、質量をもつ粒子が時間的測地線に沿って運動する。固有時を $\tau$、$\dot{}=\frac{d}{d\tau }$ とし、保存量を
$$\tilde{E}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t},\tilde{L}=r^2\dot{\varphi }$$
で定める。粒子が半径 $r=8M$ の円軌道を回っているとき、単位質量あたりのエネルギー $\tilde{E}$ を求めよ。答えは分母を有理化した根号の形で書け。

単位系 $G=c=1$ を用い、計量の符号の流儀は $(-,+,+,+)$ とする。質量 $M$（$M>0$）のシュワルツシルト時空
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{2M}{r}\right)d{t}^2+{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
の赤道面 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 上を、質量をもつ粒子が時間的測地線に沿って運動している。固有時を $\tau$、$\dot{}=\frac{d}{d\tau }$ とし、保存量 $\tilde{E}=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dot{t}$, $\tilde{L}=r^2\dot{\varphi }$ を用いると、動径方程式は
$${\dot{r}}^2={\tilde{E}}^2-V(r),V(r)=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(1+\frac{{\tilde{L}}^2}{r^2}\right)$$
となる。

粒子の軌道は半径 $r_0=8M$ の円軌道からわずかにずれており、$r$ は $r_0$ のまわりで微小な振動をしている。$r$ が最小になる点（近点）を通過してから次に近点を通過するまでの間に、方位角 $\varphi$ が増える量 $\Delta \varphi$ を、動径振動の振幅についての最低次の近似で求めよ。