電磁ポテンシャルと場

スカラーポテンシャル $ϕ$ とベクトルポテンシャル $A$ から $E = - \nabla ϕ - \partial_{t} A$ 、 $B = \nabla \times A$ を計算して場の成分を求められる

前提

マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）

この技能までの道筋（115 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
回路の性質と計器の使い方（中学理科物理分野の用語と知識）
電流と磁界・電磁誘導の用語（中学理科物理分野の用語と知識）
磁場と磁力線（高校物理電磁気と交流（知識））
電流がつくる磁場（右ねじの法則）（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁誘導とレンツの法則・ファラデーの法則（高校物理電磁気と交流（知識））
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
横波・縦波と波の要素（高校物理波動（知識））
交流の発生と実効値（高校物理電磁気と交流（知識））
自己誘導と相互誘導（高校物理電磁気と交流（知識））
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電位・等電位面と電場の関係（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
導体の静電誘導（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
不導体の誘電分極（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量を決めるもの（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電流の正体と電流の向き（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））
コイル・コンデンサーの交流に対するはたらき（高校物理電磁気と交流（知識））
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電気振動（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁波の性質と種類（高校物理電磁気と交流（知識））
ガウスの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）

説明

電場 $E$ と磁場 $B$ は、スカラーポテンシャル $ϕ$ とベクトルポテンシャル $A$ を使って
$E = - \nabla ϕ - \frac{\partial A}{\partial t}, B = \nabla \times A$
と表せます。静電場で電位から電場を求めたのを、時間変化する場にまで広げたものです。この技能では、与えられた $ϕ$ と $A$ から勾配・時間微分・回転を計算して、電場と磁場の各成分を求めます。

なぜそうしてよいのか

マクスウェル方程式のうち $\nabla \cdot B = 0$ と $\nabla \times E = - \partial_{t} B$ の 2 式は、電荷や電流によらずいつも成り立ちます。まず、どんなベクトル場 $A$ でも、回転の発散は成分で計算すると
$\nabla \cdot (\nabla \times A) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial A _{z}}{\partial y} - \frac{\partial A _{y}}{\partial z}) + \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial A _{x}}{\partial z} - \frac{\partial A _{z}}{\partial x}) + \frac{\partial}{\partial z} (\frac{\partial A _{y}}{\partial x} - \frac{\partial A _{x}}{\partial y}) = 0$
です（偏微分の順序を入れ替えられるので項が打ち消し合う）。そこで $B = \nabla \times A$ と書けば $\nabla \cdot B = 0$ が自動的にみたされます。逆に、発散が $0$ の場はこのように書けることが知られており、その $A$ をベクトルポテンシャルとよびます。

次に $B = \nabla \times A$ をファラデーの法則に代入し、時間微分と回転の順序を入れ替えると $\nabla \times (E + \frac{\partial A}{\partial t}) = 0$ です。回転が $0$ のベクトル場は、静電場と同じように線積分が経路によらないので、ある関数の勾配に負号を付けた形 $- \nabla ϕ$ に書けます（どの成分で計算しても $\nabla \times (\nabla ϕ) = 0$ も確かめられます）。よって $E + \partial_{t} A = - \nabla ϕ$ 、つまり $E = - \nabla ϕ - \partial_{t} A$ です。場が時間変化しないときは $\partial_{t} A = 0$ となり、 $ϕ$ はおなじみの電位、 $E = - \nabla ϕ$ に戻ります。

$ϕ$ と $A$ は 1 通りには決まりません。任意の関数 $χ$ で $A \to A + \nabla χ$ 、 $ϕ \to ϕ - \partial_{t} χ$ と変えても、 $\nabla \times (\nabla χ) = 0$ と、 $- \nabla (- \partial_{t} χ) - \partial_{t} (\nabla χ) = 0$ から、 $E$ と $B$ は変わりません。物理的に意味があるのは場のほうで、ポテンシャルは場を計算する道具です。

手順

$ϕ$ と $A = (A_{x}, A_{y}, A_{z})$ の各成分を書き出し、どの変数（ $x, y, z, t$ ）を含むかを確かめる
$ϕ$ の勾配 $\nabla ϕ = (\frac{\partial ϕ}{\partial x}, \frac{\partial ϕ}{\partial y}, \frac{\partial ϕ}{\partial z})$ と、 $A$ の時間微分 $\frac{\partial A}{\partial t}$ を計算する
$E = - \nabla ϕ - \frac{\partial A}{\partial t}$ を成分ごとに組み立てる（両方に負号が付く）
回転 $\nabla \times A = (\frac{\partial A _{z}}{\partial y} - \frac{\partial A _{y}}{\partial z}, \frac{\partial A _{x}}{\partial z} - \frac{\partial A _{z}}{\partial x}, \frac{\partial A _{y}}{\partial x} - \frac{\partial A _{x}}{\partial y})$ を計算して $B$ とする
指定された点・時刻を代入して、求める成分の値を出す

例題

ある領域の電磁場が、スカラーポテンシャル $ϕ = b z$ とベクトルポテンシャル $A = (0, 0, A_{0} sin (k x - ω t))$ で表されている（ $b, A_{0}, k, ω$ は定数）。 $E = - \nabla ϕ - \frac{\partial A}{\partial t}$ 、 $B = \nabla \times A$ として、原点 $x = y = z = 0$ 、時刻 $t = 0$ における電場の $z$ 成分 $E_{z}$ と磁場の $y$ 成分 $B_{y}$ を、順に組 $(E_{z}, B_{y})$ で求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $ϕ = b z$ は $z$ だけを含む。 $A$ は $z$ 成分だけがあり、 $A_{z} = A_{0} sin (k x - ω t)$ は $x$ と $t$ を含む。

【手順 2】 $\nabla ϕ = (0, 0, b)$ 。 $\frac{\partial A}{\partial t} = (0, 0, - ω A_{0} cos (k x - ω t))$ 。

【手順 3】
$E_{z} = - \frac{\partial ϕ}{\partial z} - \frac{\partial A _{z}}{\partial t} = - b + ω A_{0} cos (k x - ω t)$
（ $E_{x} = E_{y} = 0$ ）

【手順 4】 $A_{x} = A_{y} = 0$ なので
$B_{x} = \frac{\partial A _{z}}{\partial y} = 0, B_{y} = - \frac{\partial A _{z}}{\partial x} = - k A_{0} cos (k x - ω t), B_{z} = 0$

【手順 5】 $x = 0, t = 0$ では $cos 0 = 1$ なので
$E_{z} = ω A_{0} - b, B_{y} = - k A_{0}$
よって $(E_{z}, B_{y}) = (ω A_{0} - b, - k A_{0})$ 。

答え: $(ω A_{0} - b, - k A_{0})$

よくある誤り

静電場の感覚で $E = - \nabla ϕ$ だけを計算し、 $- \partial_{t} A$ を落としてしまう誤り。例題では $E_{z} = - b$ となってしまう。時間変化する場では正しくは $E = - \nabla ϕ - \partial_{t} A$ で、 $E_{z} = ω A_{0} cos (k x - ω t) - b$
$- \partial_{t} A$ の負号を付け忘れたり、 $sin$ の時間微分の符号を誤る誤り。 $\frac{\partial}{\partial t} sin (k x - ω t) = - ω cos (k x - ω t)$ なので、 $- \frac{\partial A _{z}}{\partial t} = + ω A_{0} cos (k x - ω t)$ となる
回転の $y$ 成分を $\frac{\partial A _{z}}{\partial x} - \frac{\partial A _{x}}{\partial z}$ としてしまう誤り。正しくは $(\nabla \times A)_{y} = \frac{\partial A _{x}}{\partial z} - \frac{\partial A _{z}}{\partial x}$ で、例題では $B_{y} = - k A_{0} cos (k x - ω t)$
磁場を $B = \nabla \times A$ ではなく $B = \nabla \cdot A$ や $\nabla ϕ$ から求めようとする誤り。発散はスカラーで磁場のベクトルにはならず、 $ϕ$ は磁場に寄与しない。磁場は $A$ の回転だけで決まる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ゲージ変換とゲージ条件（大学物理電磁波と電磁場）
電磁場中の荷電粒子のラグランジアンとハミルトニアン（大学物理解析力学）
リエナール・ヴィーヘルトのポテンシャルと場（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））