リエナール・ヴィーヘルトのポテンシャルと場

遅延時刻 $t_{r}$ を決め、 $ϕ = \frac{q}{4 π ε _{0}} \frac{1}{R ( 1 - n \cdot β )}$ などのポテンシャルと、速度場・放射場（ $1/ R$ に比例する部分）の値を求められる

前提

電磁ポテンシャルと場（大学物理電磁波と電磁場）
ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）

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算数中学高校大学大学院

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3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
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多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
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自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）
電磁ポテンシャルと場（大学物理電磁波と電磁場）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
記録タイマーの打点と速さ（中学理科運動とエネルギー）
斜面の運動と等速直線運動（中学理科運動とエネルギー）
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速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）
相対速度（高校物理運動の表し方）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
ローレンツ変換（大学物理特殊相対論）

説明

軌道 $r_{s} (t)$ が分かっている点電荷 $q$ について、観測点 $r$ ・時刻 $t$ での電磁ポテンシャル（リエナール・ヴィーヘルトのポテンシャル） $ϕ = \frac{q}{4 π ε _{0}} \frac{1}{R ( 1 - n \cdot β )}, A = \frac{v}{c ^{2}} ϕ$ と、そこから得られる電場・磁場を求める技能です。ここで右辺はすべて、電荷から出た信号がちょうど時刻 $t$ に観測点に届くような過去の時刻（遅延時刻） $t_{r}$ で評価します。電場は $1/ R^{2}$ で減る速度場と、加速度に比例し $1/ R$ で減る放射場に分かれ、動く電荷の場、シンクロトロン放射や制動放射の解析の出発点になります。

なぜそうしてよいのか

【遅延時刻】ローレンツ条件 $\nabla \cdot A + \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t} ϕ = 0$ のもとでマクスウェル方程式を書き直すと、 $ϕ$ と $A$ はそれぞれ源 $ρ / ε_{0}$ 、 $μ_{0} J$ をもつ波動方程式 $\frac{1}{c ^{2}} \partial_{t}^{2} ϕ - \nabla^{2} ϕ = ρ / ε_{0}$ などに従い、変化は速さ $c$ で伝わります。その解は、静電場のクーロンの式を「各点の電荷を、そこから光が観測点に届くのにかかる時間だけ前の値で数える」ように直したもの $ϕ (r, t) = \frac{1}{4 π ε _{0}} \int \frac{ρ ( r ^{'} , t - ∣ r - r ^{'} ∣/ c )}{∣ r - r ^{'} ∣} d^{3} r^{'}$ です（ $A$ も同様に $\frac{μ _{0}}{4 π} \int \frac{J}{∣ r - r ^{'} ∣} d^{3} r^{'}$ ）。点電荷なら、効いてくるのは $∣ r - r_{s} (t_{r}) ∣ = c (t - t_{r}), t_{r} < t$ を満たす遅延時刻 $t_{r}$ の位置だけです。電荷の速さが $c$ より小さければ、この $t_{r}$ はただ 1 つに決まります。以下 $R = r - r_{s} (t_{r})$ , $R = ∣ R ∣$ , $n = R / R$ （電荷から観測点への単位ベクトル）, $β = v (t_{r}) / c$ とします。

【 $1/ (1 - n \cdot β)$ の由来】点電荷を、長さ $ℓ$ の小さな帯電した棒の極限と考えます。観測点に同時に届く信号を集めると、棒の観測点から遠い側の端は、近い側の端より $ℓ^{'} / c$ だけ早く信号を出していなければなりません（ $ℓ^{'}$ は信号を出した点どうしの $n$ 方向の距離）。その間に棒は $n$ 方向に $(n \cdot β) ℓ^{'}$ だけ進むので、 $ℓ^{'} = ℓ + (n \cdot β) ℓ^{'}$ 、つまり $ℓ^{'} = \frac{ℓ}{1 - n \cdot β}$ 。上の積分は電荷を「見かけの長さ」で数えるので、電荷が実際より $\frac{1}{1 - n \cdot β}$ 倍あるかのように効き、 $ϕ = \frac{q}{4 π ε _{0} R ( 1 - n \cdot β )}$ となります。電流密度は $ρ v$ なので同じ因子がつき、 $ε_{0} μ_{0} = 1/ c^{2}$ より $A = \frac{v}{c ^{2}} ϕ$ です。

【場】 $E = - \nabla ϕ - \partial_{t} A$ , $B = \nabla \times A$ を、 $t_{r}$ も $r, t$ に依存することに注意して（ $\partial t_{r} / \partial t = 1/ κ$ , $κ = 1 - n \cdot β$ ）計算すると $E = \frac{q}{4 π ε _{0}} [\frac{( n - β ) ( 1 - β ^{2} )}{κ ^{3} R ^{2}} + \frac{n \times {( n - β ) \times β ˙ }}{c κ ^{3} R}], B = \frac{n \times E}{c}$ となります（ $β ˙ = a (t_{r}) / c$ ）。第 1 項は加速度によらず $1/ R^{2}$ で減る速度場、第 2 項は加速度に比例し $1/ R$ で減る放射場で、遠方へエネルギーを運ぶのは後者だけです。

手順

電荷の軌道 $r_{s} (t^{'})$ と観測点 $(r, t)$ を書く。
遅延時刻の条件 $∣ r - r_{s} (t_{r}) ∣ = c (t - t_{r})$ を両辺 2 乗して解き、 $t_{r} < t$ を満たす解を選ぶ。
$t_{r}$ での $R = r - r_{s} (t_{r})$ , $R$ , $n = R / R$ , $β = v (t_{r}) / c$ （必要なら $β ˙$ ）と $κ = 1 - n \cdot β$ を計算する。
ポテンシャル $ϕ = \frac{q}{4 π ε _{0} κ R}$ , $A = \frac{v ( t _{r} )}{c ^{2}} ϕ$ を求める。
場が必要なら、速度場 $\frac{q}{4 π ε _{0}} \frac{( n - β ) ( 1 - β ^{2} )}{κ ^{3} R ^{2}}$ と放射場 $\frac{q}{4 π ε _{0}} \frac{n \times {( n - β ) \times β ˙ }}{c κ ^{3} R}$ を計算し、 $B = n \times E / c$ とする。

例題

SI 単位系で考える（真空の誘電率 $ε_{0}$ 、光速 $c$ ）。点電荷 $q$ が $x$ 軸上を一定の速さ $v$ （ $0 < v < c$ ）で運動し、時刻 $t^{'}$ での位置は $r_{s} (t^{'}) = (v t^{'}, 0, 0)$ である。観測点 $r = (0, b, 0)$ （ $b > 0$ ）、時刻 $t = 0$ でのスカラーポテンシャル $ϕ$ を、リエナール・ヴィーヘルトのポテンシャルを用いて $q, ε_{0}, b, v, c$ で表せ。

例題の解答

【手順 1】軌道は $r_{s} (t^{'}) = (v t^{'}, 0, 0)$ 、観測点は $r = (0, b, 0)$ , $t = 0$ 。

【手順 2】遅延時刻の条件は $v^{2} t_{r}^{2} + b^{2} = c (0 - t_{r}) = - c t_{r}$ 。2 乗して $(c^{2} - v^{2}) t_{r}^{2} = b^{2}$ 。 $t_{r} < 0$ の解を選んで $t_{r} = - \frac{b}{c ^{2} - v ^{2}} = - \frac{γ b}{c} (γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}) .$

【手順 3】 $R = - c t_{r} = γ b$ 。 $R = (0, b, 0) - (v t_{r}, 0, 0) = (γ β b, b, 0)$ （ $β = v / c$ ）なので $n = (β, \frac{1}{γ}, 0)$ 。 $β = (β, 0, 0)$ より $n \cdot β = β^{2}$ 、 $κ = 1 - β^{2} = \frac{1}{γ ^{2}}$ 。

【手順 4】 $κ R = \frac{1}{γ ^{2}} \cdot γ b = \frac{b}{γ}$ なので $ϕ = \frac{q}{4 π ε _{0}} \frac{γ}{b} = \frac{q}{4 π ε _{0} b 1 - v ^{2} / c ^{2}} .$

【手順 5】（確認）等速運動なので $β ˙ = 0$ で放射場はない。速度場は $n - β = (0, 1/ γ, 0)$ 、 $κ^{3} R^{2} = γ^{- 6} γ^{2} b^{2} = γ^{- 4} b^{2}$ より $E_{y} = \frac{q}{4 π ε _{0}} \frac{γ ^{- 1} γ ^{- 2}}{γ ^{- 4} b ^{2}} = \frac{γ q}{4 π ε _{0} b ^{2}}$ で、真横の電場が $γ$ 倍に強まるというよく知られた結果と合う。

答え: $\frac{q}{4 π ε _{0} b 1 - v ^{2} / c ^{2}}$

よくある誤り

遅延時刻の位置ではなく、観測時刻 $t$ での電荷の位置（現在位置）から $R$ や $n$ を測ってしまう誤り。例題で現在位置を使うと $R = b$ , $n \cdot β = 0$ となり $ϕ = \frac{q}{4 π ε _{0} b}$ という誤った値になる。正しくは $∣ r - r_{s} (t_{r}) ∣ = c (t - t_{r})$ で決めた $t_{r}$ での位置を使い、 $ϕ = \frac{γ q}{4 π ε _{0} b}$ 。
因子 $1 - n \cdot β$ を落として $ϕ = \frac{q}{4 π ε _{0} R}$ としてしまう誤り、あるいは $1 + n \cdot β$ と符号を誤る誤り。 $n$ は電荷から観測点へ向く単位ベクトルで、観測点に近づく電荷（ $n \cdot β > 0$ ）ほど強く効くので、正しくは $ϕ = \frac{q}{4 π ε _{0} R ( 1 - n \cdot β )}$ 。
遅延時刻の 2 次方程式で $t_{r} > t$ の解（未来の時刻）を選んでしまう誤り。2 乗すると $t_{r} = \pm \frac{γ b}{c}$ のように 2 つ出るが、信号は過去から届くので正しくは $t_{r} < t$ の $t_{r} = - \frac{γ b}{c}$ 。
ベクトルポテンシャルを $A = v ϕ$ としたり、 $v$ を観測時刻 $t$ で評価してしまう誤り。正しくは $A = \frac{v ( t _{r} )}{c ^{2}} ϕ$ （ $μ_{0} ε_{0} = 1/ c^{2}$ ）で、速度・加速度もすべて遅延時刻 $t_{r}$ で評価する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
真空中で、電気量 $q$ の点電荷が $x$ 軸上を一定の速度 $v = (v, 0, 0)$ 、 $v = \frac{3}{5} c$ で運動しており、時刻 $t$ における位置は $w (t) = (v t, 0, 0)$ である（ $c$ は真空中の光速）。
観測点 $P (0, d, 0)$ （ $d > 0$ ）における時刻 $t = 0$ のスカラーポテンシャル $ϕ$ を、リエナール・ヴィーヘルトのポテンシャル
$ϕ (r, t) = \frac{q}{4 π ε _{0}} \frac{1}{R ( 1 - n \cdot β )}_{t_{r}}$
を用いて、 $q$ , $ε_{0}$ , $d$ で表せ。ここで $t_{r}$ は遅延時刻 $c (t - t_{r}) = ∣ r - w (t_{r}) ∣$ で定まり、 $R = ∣ r - w (t_{r}) ∣$ 、 $n = \frac{r - w ( t _{r} )}{R}$ 、 $β = \frac{v}{c}$ である。 $ε_{0}$ は真空の誘電率で、SI 単位系を用いる。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
真空中で、電荷 $q$ の点電荷が $x$ 軸上を直線運動している。ある時刻 $t^{'}$ （粒子の時刻、すなわち遅延時刻）において、粒子の速さは $v = \frac{c}{2}$ （ $c$ は真空中の光速）であり、加速度の大きさは $a (> 0)$ で、その向きは速度と同じ向きである。真空の誘電率を $ε_{0}$ とし、SI 単位系を用いる。
リエナール・ヴィーヘルトのポテンシャルから得られる放射場（距離 $R$ に反比例する部分）を用いて、粒子が時刻 $t^{'}$ から $t^{'} + d t^{'}$ の間（ $d t^{'}$ は微小）に放出する放射エネルギーを考える。このエネルギーは粒子から十分遠い球面を通って外へ流れ出る。そのうち、放射の向きを表す単位ベクトル $n$ と粒子の速度とのなす角 $θ$ が $0 \leq θ < \frac{π}{2}$ を満たす向き（前方半球）へ放出される割合を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

この技能の次に学べること

相対論的な荷電粒子の放射の角度分布（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））