マクスウェル方程式の微分形

$\nabla \cdot E = ρ / ε_{0}$ 、 $\nabla \times E = - \partial_{t} B$ などの 4 式を使い、与えられた電場から磁場を求めたり、場がマクスウェル方程式を満たす条件（電荷・電流密度や定数の関係）を求められる

前提

勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
電磁波の性質と種類（高校物理電磁気と交流（知識））
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））

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算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
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分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
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3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
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多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
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小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
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電気振動（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁波の性質と種類（高校物理電磁気と交流（知識））
ガウスの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））

説明

電場と磁場が空間の各点でみたす関係を、偏微分を使って書いたのがマクスウェル方程式の微分形です。真空中の電荷密度 $ρ$ 、電流密度 $J$ に対して
$\nabla \cdot E = \frac{ρ}{ε _{0}}, \nabla \cdot B = 0, \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}, \nabla \times B = μ_{0} J + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$
の 4 式からなります。この技能では、与えられた電場の式から回転を計算して磁場を求めたり、ある場がこれらをみたすために必要な電荷・電流密度や定数どうしの関係（例えば電磁波の $ω$ と $k$ の関係）を求めたりします。

なぜそうしてよいのか

4 式はそれぞれ、すでに知っている積分の形の法則を「ごく小さな領域」に当てはめたものです。例えば点 $(x, y, z)$ を囲む辺 $Δ x, Δ y, Δ z$ の小さな直方体にガウスの法則を使うと、 $x$ に垂直な 2 面から出る流束の差は $(E_{x} (x + Δ x) - E_{x} (x)) Δ y Δ z \approx \frac{\partial E _{x}}{\partial x} Δ x Δ y Δ z$ で、3 方向を足すと $(\nabla \cdot E) Δ V$ になります。これが中の電荷 $ρ Δ V$ を $ε_{0}$ で割ったものに等しいので、 $Δ V$ で割って $\nabla \cdot E = ρ / ε_{0}$ です。磁力線には始まりも終わりもない（閉曲面を貫く磁束は $0$ ）ことから、同じ計算で $\nabla \cdot B = 0$ が得られます。

回転のほうは、 $x y$ 平面内の辺 $Δ x, Δ y$ の小さな長方形を反時計回りに 1 周する $E$ の線積分を計算すると $(\frac{\partial E _{y}}{\partial x} - \frac{\partial E _{x}}{\partial y}) Δ x Δ y = (\nabla \times E)_{z} Δ x Δ y$ となります。この 1 周の線積分は誘導起電力で、ファラデーの法則より長方形を $+ z$ 向きに貫く磁束 $B_{z} Δ x Δ y$ の減少率に等しいので、 $(\nabla \times E)_{z} = - \frac{\partial B _{z}}{\partial t}$ です。他の成分も同様です。同じことをアンペールの法則 $\oint B \cdot d l = μ_{0} I$ に行うと $\nabla \times B = μ_{0} J$ が出ます。

ただし、どんなベクトル場でも回転の発散は $0$ （ $\nabla \cdot (\nabla \times F) = 0$ 、成分で計算すると偏微分の順序交換で打ち消し合う）なので、 $\nabla \times B = μ_{0} J$ のままだと常に $\nabla \cdot J = 0$ となり、コンデンサーの充電のように電荷がたまる場合（電荷保存 $\nabla \cdot J = - \partial_{t} ρ$ ）と矛盾します。そこで $\nabla \cdot E = ρ / ε_{0}$ を時間微分した $\partial_{t} ρ = ε_{0} \nabla \cdot \partial_{t} E$ を使い、 $J$ を $J + ε_{0} \partial_{t} E$ に置き換えると、その発散は $0$ になって矛盾が消えます。この追加の項（変位電流）のおかげで、電荷も電流もない真空中でも電場の変化が磁場を、磁場の変化が電場を生み、光速で伝わる電磁波が存在できます。

手順

与えられた場の成分 $E_{x}, E_{y}, E_{z}$ （または $B$ の成分）を書き出し、どの変数（ $x, y, z, t$ ）に依存するかを確かめる
必要な式を選ぶ。磁場を求めるなら $\nabla \times E = - \partial_{t} B$ 、電荷密度なら $\nabla \cdot E = ρ / ε_{0}$ 、電流密度や定数の関係なら $\nabla \times B = μ_{0} J + μ_{0} ε_{0} \partial_{t} E$ を使う
発散 $\frac{\partial F _{x}}{\partial x} + \frac{\partial F _{y}}{\partial y} + \frac{\partial F _{z}}{\partial z}$ や回転 $(\frac{\partial F _{z}}{\partial y} - \frac{\partial F _{y}}{\partial z}, \frac{\partial F _{x}}{\partial z} - \frac{\partial F _{z}}{\partial x}, \frac{\partial F _{y}}{\partial x} - \frac{\partial F _{x}}{\partial y})$ を成分ごとに計算する
磁場を求めるときは $- \partial_{t} B$ に等しいとおいて時間で積分する。時間によらない一定の項は問題の条件（波として振動する部分だけを考える、など）で決める
得られた式が残りの方程式もみたすか、または両辺の係数を比べて定数の関係や $ρ$ ・ $J$ を求める

例題

真空中（ $ρ = 0$ 、 $J = 0$ ）で、電場が $E = (E_{0} cos (k z - ω t), 0, 0)$ （ $E_{0}, k, ω$ は正の定数）で与えられている。磁場は $B = (0, B_{0} cos (k z - ω t), 0)$ の形で、時間によらない一定の成分はないものとする。マクスウェル方程式 $\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ を用いて、 $B_{0}$ を $E_{0}, k, ω$ で表せ。

例題の解答

【手順 1】 $E_{x} = E_{0} cos (k z - ω t)$ は $z$ と $t$ だけに依存し、 $E_{y} = E_{z} = 0$ 。

【手順 2】磁場を求めるので、 $\nabla \times E = - \partial_{t} B$ を使う。

【手順 3】回転の成分を計算する。 $E_{y} = E_{z} = 0$ 、 $E_{x}$ は $y$ によらないので
$(\nabla \times E)_{x} = 0, (\nabla \times E)_{y} = \frac{\partial E _{x}}{\partial z} = - k E_{0} sin (k z - ω t), (\nabla \times E)_{z} = - \frac{\partial E _{x}}{\partial y} = 0$

【手順 4】 $y$ 成分について $- \frac{\partial B _{y}}{\partial t} = - k E_{0} sin (k z - ω t)$ 。一方、 $B_{y} = B_{0} cos (k z - ω t)$ を時間微分すると $\frac{\partial B _{y}}{\partial t} = ω B_{0} sin (k z - ω t)$ なので
$- ω B_{0} sin (k z - ω t) = - k E_{0} sin (k z - ω t)$
これがすべての $z, t$ で成り立つから $ω B_{0} = k E_{0}$ 。

【手順 5】 $ω > 0$ なので割って
$B_{0} = \frac{k E _{0}}{ω}$
（なお $x, z$ 成分は両辺とも $0$ で一致している。さらに $\nabla \times B = μ_{0} ε_{0} \partial_{t} E$ も使うと $ω^{2} = \frac{k ^{2}}{μ _{0} ε _{0}}$ 、つまり $B_{0} = E_{0} μ_{0} ε_{0}$ が得られる。）

答え: $\frac{k E _{0}}{ω}$

よくある誤り

回転の成分の順序や符号を取り違える誤り。例えば $(\nabla \times E)_{y} = \frac{\partial E _{z}}{\partial x} - \frac{\partial E _{x}}{\partial z}$ としてしまう。正しくは $(\nabla \times E)_{y} = \frac{\partial E _{x}}{\partial z} - \frac{\partial E _{z}}{\partial x}$ で、 $x \to y \to z \to x$ の順に巡回させて作る
ファラデーの法則の負号を落として $\nabla \times E = \partial_{t} B$ としてしまう誤り。例題では $B_{0} = - \frac{k E _{0}}{ω}$ となり磁場の向きが逆になる。正しくは $\nabla \times E = - \partial_{t} B$
真空中でも $\nabla \times B = μ_{0} J$ のまま変位電流の項 $μ_{0} ε_{0} \partial_{t} E$ を落としてしまう誤り。そうすると真空中で $\nabla \times B = 0$ となり電磁波の条件が出ない。正しくは $\nabla \times B = μ_{0} J + μ_{0} ε_{0} \partial_{t} E$ で、平面波では $ω^{2} = \frac{k ^{2}}{μ _{0} ε _{0}}$ が導かれる
与えられた場がマクスウェル方程式の 1 つをみたすだけで、物理的にありうる場だと判断してしまう誤り。例えば $E = (E_{0} cos (k x - ω t), 0, 0)$ は $\nabla \times E = 0$ だが $\nabla \cdot E = - k E_{0} sin (k x - ω t) \neq = 0$ なので、真空中（ $ρ = 0$ ）では許されない。4 式すべてを確かめる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
真空中で、電場が直交座標 $(x, y, z)$ と時刻 $t$ の関数として
$E (z, t) = (E_{0} sin (k z - ω t), 0, 0)$
で与えられている。ここで $E_{0}$ , $k$ , $ω$ は正の定数である。
マクスウェル方程式 $\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$ を用いて、磁束密度 $B$ の $y$ 成分 $B_{y} (z, t)$ を $E_{0}$ , $k$ , $ω$ , $z$ , $t$ を用いて表せ。ただし、時間によらない一定の磁場は存在しないものとする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

真空中の平面電磁波（大学物理電磁波と電磁場）
電磁ポテンシャルと場（大学物理電磁波と電磁場）
電磁場テンソルと場のローレンツ変換（大学院物理発展的な電磁気学（放射・相対論的電磁気学））