電磁波と電磁場の問題

SI 単位系で、真空中に、屈折率 $n=2$ の一様な誘電体でできた厚さ $d$ の平行平板（$0\le z\le d$、$x$, $y$ 方向には十分に広い）が置かれている。誘電体は非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、光を吸収しない。真空中での波長が ${\lambda }_0$ の単色の平面電磁波が、$z<0$ の側から板の表面に垂直に入射する。板の厚さは $d=\frac{{\lambda }_0}{16}$ である。

板の内部での多重反射をすべて考慮して、入射波の強度（ポインティングベクトルの大きさの時間平均）に対する、$z>d$ の側へ透過する波の強度の比を、既約分数で求めよ。

SI 単位系で、管軸を $z$ 軸とし、断面が $0\le x\le a$、$0\le y\le \frac{a}{3}$ の長方形である、まっすぐで無限に長い中空導波管がある。壁は完全導体である。導波管の内部は、$z<0$ の部分が真空、$z>0$ の部分が比誘電率 ${\epsilon }_r=\frac{5}{2}$ の一様な誘電体で隙間なく満たされている。誘電体は非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、損失はない。真空中の光速を $c$ とする。

$z<0$ の側から、角振動数 $\omega =\frac{\sqrt{2}\pi c}{a}$ の ${\mathrm{TE}}_{10}$ モード（電場が $y$ 成分だけをもち、その大きさが $\sin \frac{\pi x}{a}$ に比例するモード）が $+z$ 向きに進んで境界面 $z=0$ に入射する。$z>0$ の誘電体の部分には $-z$ 向きに進む波はないものとする。

入射波が運ぶ時間平均の電力に対する、$z>0$ の部分へ透過する波が運ぶ時間平均の電力の比を、既約分数で求めよ。

SI 単位系で、数密度 $n$ の自由電子（質量 $m$、電荷 $-e$）と、電荷を中和する一様な正イオンからなる冷たいプラズマがある。正イオンは重いので静止しているとみなし、電子の熱運動・衝突、電子にはたらく磁場からの力は無視し、電子の運動は非相対論的に扱う。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、透磁率を ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とし、プラズマ角振動数を ${\omega }_p=\sqrt{\frac{n{e}^2}{{\epsilon }_{0}m}}$ とする。

このプラズマ中を、$z$ 軸の正の向きに、角振動数 $\omega =2{\omega }_p$ の横波の平面電磁波
$$\mathbf{E}=\left(E_0\cos (kz-\omega t),0,0\right)(E_0>0,k>0)$$
が伝わっている。電子の速度はこの電場によって生じる振動成分だけからなるものとする。

電場のエネルギー密度 $\frac{{\epsilon }_0}{2}|\mathbf{E}{|}^2$、磁場のエネルギー密度 $\frac{1}{2{\mu }_0}|\mathbf{B}{|}^2$、電子の運動エネルギー密度 $\frac{1}{2}nm|\mathbf{v}{|}^2$ をそれぞれ時間平均し、それらの和を全エネルギー密度とする。全エネルギー密度のうち電子の運動エネルギー密度が占める割合を、既約分数で求めよ。

SI 単位系で、$z>0$ の空間を一様な導電性の媒質が満たしている。この媒質の誘電率は真空の誘電率 ${\epsilon }_0$、透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しく、電気伝導率は $\sigma$ で、電流密度はオームの法則 $\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$ に従う。媒質の内部では電荷密度は $0$ とする。光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

この媒質の中を、角振動数 $\omega (>0)$ の単色の平面電磁波が $z$ 軸の正の向きに進んでいる。電場は $x$ 成分だけをもち、複素表示で
$$E_x(z,t)=\mathrm{Re}\left[E_0{e}^{i(kz-\omega t)}\right]$$
と書ける（$E_0$ は定数、$k$ は複素数の波数で $\mathrm{Re}k>0$）。伝導率が $\sigma =\sqrt{3}{\epsilon }_0\omega$ であるとき、電場の振幅が $\frac{1}{e}$ 倍になるまでに波が進む距離（振幅の減衰長）を、$c$, $\omega$ を用いて表せ。

SI 単位系で、真空中に、平面 $z=0$ と $z=L(L>0)$ に置かれた 2 枚の十分に広い完全導体板がある。板の間（$0<z<L$）の電場が
$$\mathbf{E}(z,t)=\left(E_0\sin kz\cos \omega t,0,0\right)$$
で与えられる定在波になっている。ここで $E_0>0$ は定数、$k=\frac{\pi }{L}$、$\omega =ck$、$c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$ は真空中の光速であり、${\epsilon }_0$, ${\mu }_0$ はそれぞれ真空の誘電率と透磁率である。板の間に電荷や電流はなく、磁場には時間によらない一様な成分はないものとする。完全導体の内部（$z>L$ の側）では電場も磁場も $0$ である。板 $z=L$ が電磁場から受ける力の単位面積あたりの大きさを、時間について平均した値を ${\epsilon }_0$, $E_0$ を用いて表せ。