この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

電磁波と電磁場の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理電磁波と電磁場

SI 単位系で、 $z > 0$ の空間を一様な導電性の媒質が満たしている。この媒質の誘電率は真空の誘電率 $ε_{0}$ 、透磁率は真空の透磁率 $μ_{0}$ に等しく、電気伝導率は $σ$ で、電流密度はオームの法則 $J = σ E$ に従う。媒質の内部では電荷密度は $0$ とする。光速を $c = 1/ ε_{0} μ_{0}$ とする。

この媒質の中を、角振動数 $ω (> 0)$ の単色の平面電磁波が $z$ 軸の正の向きに進んでいる。電場は $x$ 成分だけをもち、複素表示で
$E_{x} (z, t) = Re [E_{0} e^{i (k z - ω t)}]$
と書ける（ $E_{0}$ は定数、 $k$ は複素数の波数で $Re k > 0$ ）。伝導率が $σ = 3 ε_{0} ω$ であるとき、電場の振幅が $\frac{1}{e}$ 倍になるまでに波が進む距離（振幅の減衰長）を、 $c$ , $ω$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

マクスウェル方程式の微分形（説明と入口の問題）
真空中の平面電磁波（説明と入口の問題）
複素数と 2 次方程式の虚数解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（124 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

オームの法則を含むアンペール・マクスウェルの法則とファラデーの法則から、電場についての波動方程式（減衰項つき）を導きましょう。

ヒント 2

平面波を代入すると $k^{2} = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} (1 + \frac{iσ}{ε _{0} ω})$ という複素数の分散関係が得られます。振幅は $e^{- (Im k) z}$ で減衰します。

ヒント 3

$σ = 3 ε_{0} ω$ のとき $k^{2} = \frac{2 ω ^{2}}{c ^{2}} e^{iπ /3}$ です。 $Re k > 0$ となる平方根をとり、虚部を求めましょう。

答えと解説

答えを見る

\frac{2 c}{ω}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

波動方程式
媒質中のマクスウェル方程式は、電荷密度 $0$ 、 $J = σ E$ として
$\nabla \cdot E = 0, \nabla \cdot B = 0, \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}, \nabla \times B = μ_{0} σ E + ε_{0} μ_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$
第 3 式の回転をとり、 $\nabla \times (\nabla \times E) = \nabla (\nabla \cdot E) - \nabla^{2} E = - \nabla^{2} E$ と第 4 式を使うと
$\nabla^{2} E = μ_{0} σ \frac{\partial E}{\partial t} + \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} E}{\partial t ^{2}}$

分散関係
$E = (E_{0} e^{i (k z - ω t)}, 0, 0)$ を代入すると（この形は $\nabla \cdot E = 0$ を満たす）
$- k^{2} = - iω μ_{0} σ - \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} ∴ k^{2} = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} (1 + \frac{iσ}{ε _{0} ω})$
（ $μ_{0} = \frac{1}{ε _{0} c ^{2}}$ を用いた。） $σ = 3 ε_{0} ω$ を代入すると
$k^{2} = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} (1 + 3 i) = \frac{2 ω ^{2}}{c ^{2}} e^{iπ /3}$
$Re k > 0$ の根をとって
$k = \frac{2 ω}{c} e^{iπ /6} = \frac{2 ω}{c} (\frac{3}{2} + \frac{i}{2}) = \frac{6 ω}{2 c} + i \frac{ω}{2 c}$

減衰長
$k = k_{r} + i k_{i}$ とおくと $e^{ik z} = e^{i k_{r} z} e^{- k_{i} z}$ なので、振幅は $e^{- k_{i} z}$ に比例して減衰する（ $k_{i} = \frac{ω}{2 c} > 0$ で、 $+ z$ 向きに進むにつれて減衰する）。振幅が $\frac{1}{e}$ 倍になる距離は
$\frac{1}{k _{i}} = \frac{2 c}{ω}$

別解

マクスウェル方程式（ $ρ = 0$ , $J = σ E$ ）から波動方程式 $\nabla^{2} E = μ_{0} ε_{0} \partial_{t}^{2} E + μ_{0} σ \partial_{t} E$ を得る。 $E_{x} \propto e^{i (k z - ω t)}$ を代入すると
$- k^{2} = - μ_{0} ε_{0} ω^{2} - i μ_{0} σ ω \Rightarrow k^{2} = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} (1 + i \frac{σ}{ε _{0} ω}) .$
$σ = 3 ε_{0} ω$ より $k^{2} = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} (1 + i 3) = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} \cdot 2 e^{iπ /3}$ 。
$Re k > 0$ の根は $k = \frac{2 ω}{c} e^{iπ /6}$ 。したがって
$Im k = \frac{2 ω}{c} sin \frac{π}{6} = \frac{ω}{2 c}$ 。

振幅は $e^{- Im k \cdot z}$ で減衰するので、 $1/ e$ になる距離は
$δ = \frac{1}{Im k} = \frac{2 c}{ω} .$

検算: $Re k = \frac{2 ω}{c} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6 ω}{2 c}$ 。 $k^{2}$ の実部 $= \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} (\frac{6}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}}$ ✓、虚部 $= 2 \cdot \frac{6}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} = 3 \frac{ω ^{2}}{c ^{2}}$ ✓。

電磁波と電磁場の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題