電磁波と電磁場の問題

SI 単位系で、内部が真空の、まっすぐで十分に長い長方形の中空導波管がある。管軸を $z$ 軸とし、断面は $0\le x\le a$、$0\le y\le \frac{a}{2}$ である。管の中を、角振動数
$$\omega =\frac{3\pi c}{2a}$$
の ${\mathrm{TE}}_{10}$ モードの電磁波が $z$ 軸の正の向きに伝わっている。ここで $c$ は真空中の光速、$Z_0=\sqrt{{\mu }_0/{\epsilon }_0}$ は真空の特性インピーダンスである。

管の壁は完全導体ではなく、電気伝導率が大きい非磁性の良導体でできている。この角振動数での壁の表面抵抗を $R_s=\sqrt{\frac{\omega {\mu }_0}{2\sigma }}$（$\sigma$ は壁の電気伝導率）とする。表皮深さは $a$ に比べて十分小さく、損失は小さいとして、次の近似を用いよ。

• 管内の電磁場の分布は、壁が完全導体の場合の ${\mathrm{TE}}_{10}$ モードの電磁場で近似できる。
• 壁の表面に沿った磁場の複素振幅を $H_{\parallel }$ とすると、壁の単位面積あたりで消費される電力の時間平均は $\frac{1}{2}{R}_s|H_{\parallel }{|}^2$ である。

壁でのジュール損失のために、電磁場の振幅は $e^{-\alpha z}$ に比例して減衰する（伝わる電力は $e^{-2\alpha z}$ に比例する）。減衰定数 $\alpha$ を $R_s$、$Z_0$、$a$ を用いて表せ。

SI 単位系で、電荷も電流もない真空中に、電場が
$$\mathbf{E}(x,y,z,t)=\left(0,0,E_0\cos (qy)\cos (px-\omega t)\right)$$
で表される電磁場がある。ここで $E_0,p,q,\omega$ は正の定数であり、$\omega$ はこの電場がマクスウェル方程式を満たすように定まっている。磁場 $\mathbf{B}$ は時間的に振動する成分だけからなり、時間によらない成分は含まないものとする。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、透磁率を ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

ポインティングベクトルを $\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$、電磁場のエネルギー密度を $u=\frac{{\epsilon }_0}{2}|\mathbf{E}{|}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}|\mathbf{B}{|}^2$ とし、$S_x$ と $u$ をそれぞれ時間について 1 周期、$y$ について 1 周期（$0\le y\le 2\pi /q$）にわたって平均したものを $\overline{S_x}$、$\overline{u}$ とする。$x$ 方向のエネルギー輸送の速さ $v_E=\frac{\overline{S_x}}{\overline{u}}$ を、$p,q,c$ を用いて求めよ。

SI 単位系で、真空中の原点に置かれた電気双極子モーメントが
$$\mathbf{p}(t)=p_0\left(\cos \omega t,\sin \omega t,0\right)$$
のように、大きさ $p_0$ を保ったまま $xy$ 平面内を角振動数 $\omega$ で回転している（$p_0>0$, $\omega >0$ は定数）。双極子の大きさは放射の波長に比べて十分小さく、十分遠方（放射帯）では、単位方向ベクトル $\mathbf{n}$ の向きへ単位立体角あたりに放射される電力は、電気双極子近似により
$$\frac{dP}{d\Omega }=\frac{{\mu }_0}{16{\pi }^{2}c}{\left|\mathbf{n}\times \ddot{\mathbf{p}}\right|}^2$$
で与えられる（${\mu }_0$ は真空の透磁率、$c$ は真空中の光速、$\ddot{\mathbf{p}}$ は遅延時刻での $\mathbf{p}$ の 2 階時間微分）。$+z$ 軸方向（$\mathbf{n}=(0,0,1)$）への $\frac{dP}{d\Omega }$ の時間平均は、$+x$ 軸方向（$\mathbf{n}=(1,0,0)$）への $\frac{dP}{d\Omega }$ の時間平均の何倍か。

SI 単位系で、真空中（真空の透磁率 ${\mu }_0$、真空中の光速 $c$）を伝わる平面電磁波を考える。$xyz$ 直交座標系で、この電磁波の電場は
$$\mathbf{E}=\left(0,E_0\cos \left(\frac{k}{2}x+\frac{\sqrt{3}k}{2}z-\omega t\right),0\right)$$
で与えられる。ここで $E_0$, $k$, $\omega$ は正の定数で、$\omega =ck$ を満たす。また、磁場には時間に依存しない成分はないものとする。

平面 $z=0$ 上にある、原点を中心とする半径 $R$ の円板を考える。この円板を $z$ 軸の正の向きに通過する電磁場のエネルギーの、単位時間あたりの量（ポインティングベクトルの円板上での面積分）を、電磁波の 1 周期にわたって時間平均した値を、$E_0$, $R$, ${\mu }_0$, $c$ を用いて表せ。

SI 単位系で、ある領域の電磁場が、スカラーポテンシャル $\varphi$ とベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ によって
$$\varphi =0,\mathbf{A}(x,y,z,t)=\left(\alpha xt,0,0\right)$$
と表されている（$\alpha$ は $0$ でない定数）。電場と磁場は $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$, $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ で与えられる。このポテンシャルにゲージ変換
$${\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\nabla \chi ,{\varphi }^{\prime }=\varphi -\frac{\partial \chi }{\partial t}$$
をほどこし、変換後のポテンシャルがローレンツ条件
$$\nabla \cdot {\mathbf{A}}^{\prime }+\frac{1}{c^2}\frac{\partial {\varphi }^{\prime }}{\partial t}=0$$
を満たすようにしたい（$c$ は真空中の光速）。ゲージ関数 $\chi$ は時刻 $t$ だけの関数 $\chi (t)$ とし、$\chi (0)=0$, $\frac{d\chi }{dt}(0)=0$ を満たすものとする。変換後のスカラーポテンシャル ${\varphi }^{\prime }$ を $\alpha$, $c$, $t$ を用いて表せ。