電磁波と電磁場の問題

SI 単位系で、真空中（真空の透磁率 ${\mu }_0$、真空中の光速 $c$）を $z$ 軸の正の向きに進む平面電磁波があり、その電場と磁束密度は
$$\mathbf{E}=\left(c{B}_0\cos (kz-\omega t),0,0\right),\mathbf{B}=\left(0,B_0\cos (kz-\omega t),0\right)$$
で表される。ここで $B_0$, $k$, $\omega$ は正の定数である。この電磁波の強度（ポインティングベクトルの大きさの 1 周期にわたる時間平均）を $I_0$ とする。磁束密度の振幅 $B_0$ を $I_0$, ${\mu }_0$, $c$ を用いて表せ。

SI 単位系で、電荷も電流もない真空中に、電場が
$$\mathbf{E}(x,y,z,t)=\left(0,0,E_0\cos (qy)\cos (px-\omega t)\right)$$
で表される電磁場がある。ここで $E_0,p,q,\omega$ は正の定数であり、$\omega$ はこの電場がマクスウェル方程式を満たすように定まっている。磁場 $\mathbf{B}$ は時間的に振動する成分だけからなり、時間によらない成分は含まないものとする。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、透磁率を ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

ポインティングベクトルを $\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$、電磁場のエネルギー密度を $u=\frac{{\epsilon }_0}{2}|\mathbf{E}{|}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}|\mathbf{B}{|}^2$ とし、$S_x$ と $u$ をそれぞれ時間について 1 周期、$y$ について 1 周期（$0\le y\le 2\pi /q$）にわたって平均したものを $\overline{S_x}$、$\overline{u}$ とする。$x$ 方向のエネルギー輸送の速さ $v_E=\frac{\overline{S_x}}{\overline{u}}$ を、$p,q,c$ を用いて求めよ。

真空中の原点に、$z$ 軸方向に振動する電気双極子モーメント
$$\mathbf{p}(t)=(0,0,p_0\cos \omega t)$$
がある。ここで $p_0$, $\omega$ は正の定数である。真空の透磁率を ${\mu }_0$、真空中の光速を $c$ とし、遠方で単位立体角あたりに放射される電力は
$$\frac{dP}{d\Omega }=\frac{{\mu }_0}{16{\pi }^{2}c}|\mathbf{n}\times \ddot{\mathbf{p}}{|}^2$$
で与えられるとする（$\mathbf{n}$ は観測方向の単位ベクトル、$\ddot{\mathbf{p}}$ は $\mathbf{p}$ の時間についての 2 階微分）。

$z$ 軸の正の向きとのなす角が $\theta =\frac{\pi }{3}$ の方向について、$\frac{dP}{d\Omega }$ の 1 周期にわたる時間平均を ${\mu }_0$, $p_0$, $\omega$, $c$ を用いて表せ。

真空中の原点に、$z$ 軸方向を向いた電気双極子モーメント
$$\mathbf{p}(t)=p_0\cos (\omega t){\mathbf{e}}_z$$
をもつ振動双極子がある（$p_0>0$, $\omega >0$ は定数）。十分遠方（放射ゾーン）で、単位ベクトル $\mathbf{n}$ の向き（$z$ 軸とのなす角 $\theta$）へ単位立体角あたりに放射される電力は
$$\frac{dP}{d\Omega }=\frac{{\mu }_0}{16{\pi }^{2}c}{\left|\mathbf{n}\times \ddot{\mathbf{p}}\right|}^2$$
で与えられる。ここで ${\mu }_0$ は真空の透磁率、$c$ は真空中の光速である。この双極子が全方向へ放射する電力の時間平均 $⟨P⟩$ を、${\mu }_0$, $p_0$, $\omega$, $c$ を用いて表せ。

SI 単位系で、ある領域の電磁場が、スカラーポテンシャル $\varphi$ とベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ によって
$$\varphi (x,y,z,t)=\kappa xyt,\mathbf{A}(x,y,z,t)=\left(\alpha y,0,0\right)$$
と表されている。ここで $\alpha ,\kappa$ は $0$ でない実数の定数である。電場と磁場は $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$, $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ で与えられる。

なめらかな実数値関数 $\chi (x,y,z,t)$ を用いたゲージ変換
$${\varphi }^{\prime }=\varphi -\frac{\partial \chi }{\partial t},{\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\nabla \chi$$
によって、この領域のすべての点・すべての時刻で ${\varphi }^{\prime }=0$ となるようにする。ただし $\chi$ は、時刻 $t=0$ にこの領域のすべての点で $\chi =0$ を満たすものとする。

このとき、変換後のベクトルポテンシャルの $x$ 成分 $A_x^{\prime }$ を、$\alpha ,\kappa ,x,y,z,t$ のうち必要なものを用いて求めよ。