静電場のエネルギー

電場のエネルギー密度 $\frac{ε _{0}}{2} ∣ E ∣^{2}$ を全空間で積分するか $W = \frac{1}{2} \int ρ V d V$ を使い、電荷分布やコンデンサーのもつ静電エネルギーを求められる

前提

電場の線積分と電位差（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
広義積分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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コンデンサーの電気容量を決めるもの（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
広義積分（大学数学微分積分）

説明

電荷が分布していると、その配置をつくるのに外から仕事が必要で、その仕事が静電エネルギーとして蓄えられます。この技能では、そのエネルギーを「電場のエネルギー密度 $u = \frac{ε _{0}}{2} ∣ E ∣^{2}$ を全空間で積分する」か「 $W = \frac{1}{2} \int ρ V d V$ を電荷のある所で積分する」ことで求めます。球や円筒のように対称性があってガウスの法則で電場が求まる電荷分布や、コンデンサーのエネルギーを計算するときに使います。

なぜそうしてよいのか

まず $W = \frac{1}{2} \int ρ V d V$ の理由です。コンデンサーの静電エネルギー $U = \frac{1}{2} Q V$ を導いたときと同じく、電荷を無限遠から少しずつ運んで配置をつくると考えます。最終的な電荷密度 $ρ$ に対して、途中の段階を $λ ρ$ （ $0 \leq λ \leq 1$ ）とすると、そのときの電位は $λV$ です。次に $d λ ρ d V$ だけ電荷を足す仕事は $λV \cdot ρ d λ d V$ なので、 $λ$ を $0$ から $1$ まで積分すると $\int_{0}^{1} λ d λ = \frac{1}{2}$ が出て、 $W = \frac{1}{2} \int ρ V d V$ となります（ $V$ は無限遠を基準にした電位）。係数 $\frac{1}{2}$ は「電位が電荷とともに 0 から増えていく」ことから来ています。

次に、これを電場だけで書き直します。ガウスの法則 $\nabla \cdot E = ρ / ε_{0}$ と $E = - \nabla V$ を使うと、 $\nabla \cdot (V E) = \nabla V \cdot E + V \nabla \cdot E = - ∣ E ∣^{2} + \frac{ρ V}{ε _{0}}$ です。これを半径 $r$ の大きな球の内部で積分すると、左辺は表面積分 $\oint V E \cdot d S$ になります。電荷が有限の領域にあれば遠くで $V \sim 1/ r$ 、 $∣ E ∣ \sim 1/ r^{2}$ 、面積 $\sim r^{2}$ なので、この表面積分は $1/ r$ の程度で $0$ に近づきます。よって全空間では $\frac{1}{2} \int ρ V d V = \frac{ε _{0}}{2} \int ∣ E ∣^{2} d V$ が成り立ちます。

平行板コンデンサー（面積 $S$ 、間隔 $d$ 、電場 $E$ は極板間だけで一様）で確かめると、 $\frac{ε _{0}}{2} E^{2} \cdot S d = \frac{1}{2} \cdot \frac{ε _{0} S}{d} (E d)^{2} = \frac{1}{2} C V^{2}$ となり、知っている結果と一致します。つまりエネルギーは「電場のある場所に、単位体積あたり $\frac{ε _{0}}{2} ∣ E ∣^{2}$ ずつ蓄えられている」と見なせます。

手順

電荷分布の対称性を確かめ、エネルギー密度で計算するか（電場が簡単に求まるとき）、 $\frac{1}{2} \int ρ V d V$ で計算するか（電荷のある所の電位が簡単なとき）を決める
ガウスの法則などで、領域ごと（電荷分布の内側・外側など）の電場の大きさ $E (r)$ を求める。 $ρ V$ を使う場合は無限遠基準の電位 $V$ を求める
エネルギー密度 $u = \frac{ε _{0}}{2} E^{2}$ を書き、対称性に合った体積要素を選ぶ（球対称なら $d V = 4 π r^{2} d r$ 、長さ $l$ の円筒対称なら $d V = 2 π r l d r$ ）
電場が $0$ でない全領域について積分 $W = \int u d V$ を計算する。無限遠まで続く積分は広義積分として極限をとる
（確認）コンデンサーなら $\frac{Q ^{2}}{2 C}$ などと比べて、結果が一致するかを確かめる

例題

真空中で、半径 $R$ の球面上に電気量 $Q$ （ $Q > 0$ ）が一様に分布している。真空の誘電率を $ε_{0}$ とする。この電荷分布のもつ静電エネルギー $W$ を、電場のエネルギー密度を全空間で積分して $Q, R, ε_{0}$ で表せ。

例題の解答

【手順 1】電荷分布は球対称で、ガウスの法則で電場がすぐ求まるので、エネルギー密度の積分で計算する。

【手順 2】中心からの距離を $r$ とし、半径 $r$ の同心球面にガウスの法則を使う。 $r < R$ では内部の電荷が $0$ なので $E = 0$ 。 $r > R$ では $4 π r^{2} E = \frac{Q}{ε _{0}}$ より $E = \frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ 。

【手順 3】エネルギー密度は $r < R$ で $u = 0$ 、 $r > R$ で
$u = \frac{ε _{0}}{2} (\frac{Q}{4 π ε _{0} r ^{2}})^{2} = \frac{Q ^{2}}{32 π ^{2} ε _{0} r ^{4}}$
球対称なので体積要素は $d V = 4 π r^{2} d r$ 。

【手順 4】電場があるのは $r > R$ だけなので
$W = \int_{R}^{\infty} \frac{Q ^{2}}{32 π ^{2} ε _{0} r ^{4}} \cdot 4 π r^{2} d r = \frac{Q ^{2}}{8 π ε _{0}} \int_{R}^{\infty} \frac{d r}{r ^{2}}$
広義積分は $\int_{R}^{\infty} \frac{d r}{r ^{2}} = L \to \infty lim [- \frac{1}{r}]_{R}^{L} = L \to \infty lim (\frac{1}{R} - \frac{1}{L}) = \frac{1}{R}$ と収束する。よって
$W = \frac{Q ^{2}}{8 π ε _{0} R}$

【手順 5】確認: 球面上の電位は $V = \frac{Q}{4 π ε _{0} R}$ で一定なので、 $\frac{1}{2} \int ρ V d V = \frac{1}{2} Q V = \frac{Q ^{2}}{8 π ε _{0} R}$ となり一致する。

答え: $\frac{Q ^{2}}{8 π ε _{0} R}$

よくある誤り

電荷のある所だけを積分してしまう誤り。エネルギー密度 $\frac{ε _{0}}{2} E^{2}$ は電場のある全空間で積分する。例題の球面電荷では電荷は $r = R$ だけにあるが、エネルギーはすべて $r > R$ の空間にあり、 $\int_{R}^{\infty}$ を計算する必要がある。逆に $\frac{1}{2} \int ρ V d V$ のほうは $ρ \neq = 0$ の所だけ積分すればよい
体積要素を $d r$ のままにしてしまう誤り。球対称なら $\int u d V = \int u \cdot 4 π r^{2} d r$ であり、 $\int \frac{ε _{0}}{2} E^{2} d r$ ではない（これでは次元もエネルギーにならない）
重ね合わせでエネルギーも足し算できるとしてしまう誤り。電場は $E = E_{1} + E_{2}$ と足せるが、 $∣ E ∣^{2} = ∣ E_{1} ∣^{2} + ∣ E_{2} ∣^{2} + 2 E_{1} \cdot E_{2}$ なので、全エネルギーは各部分のエネルギーの和に相互作用の項 $ε_{0} \int E_{1} \cdot E_{2} d V$ が加わる
$\int ρ V d V$ の係数 $\frac{1}{2}$ を落としてしまう誤り。 $W = \int ρ V d V$ とすると各電荷対の相互作用を 2 回数えることになる。正しくは $W = \frac{1}{2} \int ρ V d V$ （例題なら $\frac{1}{2} Q V$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
真空中に、中心 O、半径 $R$ （ $R > 0$ ）の薄い導体球殻があり、電荷 $Q$ が球殻の表面に一様に分布している。ほかに電荷はない。真空の誘電率を $ϵ_{0}$ とし、電場のエネルギー密度は $u = \frac{ϵ _{0}}{2} ∣ E ∣^{2}$ で与えられるものとする。
中心 O からの距離 $r$ が $R < r < 2 R$ を満たす領域（球殻の外側で、半径 $2 R$ の球面の内側）の電場がもつエネルギー $W$ を、 $Q$ , $R$ , $ϵ_{0}$ を用いて表せ。
$O$ $R$ $2 R$ $Q$

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
液滴模型のクーロンエネルギーと変形の安定性（大学物理原子核・素粒子）