この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

原子核・素粒子の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理原子核・素粒子

半経験的質量公式のクーロン項 $- a_{C} \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}}$ の係数 $a_{C}$ を、次のモデルから見積もる。

原子番号 $Z$ 、質量数 $A$ の原子核を、半径 $R = r_{0} A^{1/3}$ の球の内部に全電荷 $Z e$ が一様に分布した球とみなす。原子核のクーロンエネルギーを、この一様帯電球の静電エネルギー（無限遠から電荷を少しずつ運んで球を組み上げるのに必要な仕事）で近似し、それを $a_{C} \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}}$ と書いたときの $a_{C}$ を求める。

$r_{0} = 1.2 fm$ 、 $\frac{e ^{2}}{4 π ε _{0}} = 1.44 MeV \cdot fm$ として、 $a_{C}$ を MeV 単位で求めよ。答えは正確な値（小数）で答えよ。

この問題で使うもの

液滴模型のクーロンエネルギーと変形の安定性（説明と入口の問題）
静電場のエネルギー（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（115 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

一様帯電球の静電エネルギーを、半径 $r$ の球に厚さ $d r$ の球殻を付け加える仕事を積分して求めよう。

ヒント 2

半径 $r$ の球の電荷は $q (r) = Z e r^{3} / R^{3}$ 、球殻の電荷は $d q = 3 Z e r^{2} d r / R^{3}$ 。仕事は $d W = \frac{q ( r ) d q}{4 π ε _{0} r}$ 。

ヒント 3

積分すると $E_{C} = \frac{3}{5} \frac{Z ^{2} e ^{2}}{4 π ε _{0} R}$ 。ここに $R = r_{0} A^{1/3}$ を代入する。

答えと解説

答えを見る

0.72

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

1. 一様帯電球の静電エネルギー

電荷密度は $ρ = \frac{Z e}{\frac{4}{3} π R ^{3}}$ で一定である。半径 $r$ まで組み上げた球の電荷は
$q (r) = ρ \cdot \frac{4}{3} π r^{3} = Z e \frac{r ^{3}}{R ^{3}} .$
この球の表面（電位 $\frac{q ( r )}{4 π ε _{0} r}$ ）に、無限遠から厚さ $d r$ の球殻の電荷 $d q = ρ \cdot 4 π r^{2} d r = 3 Z e \frac{r ^{2}}{R ^{3}} d r$ を運ぶ仕事は
$d W = \frac{q ( r )}{4 π ε _{0} r} d q = \frac{1}{4 π ε _{0}} \cdot \frac{Z e r ^{2}}{R ^{3}} \cdot \frac{3 Z e r ^{2}}{R ^{3}} d r = \frac{3 Z ^{2} e ^{2}}{4 π ε _{0} R ^{6}} r^{4} d r .$
$r = 0$ から $R$ まで積分して
$E_{C} = \frac{3 Z ^{2} e ^{2}}{4 π ε _{0} R ^{6}} \cdot \frac{R ^{5}}{5} = \frac{3}{5} \cdot \frac{Z ^{2} e ^{2}}{4 π ε _{0} R} .$

2. $a_{C}$ の決定

$R = r_{0} A^{1/3}$ を代入すると
$E_{C} = \frac{3}{5} \cdot \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r _{0}} \cdot \frac{Z ^{2}}{A ^{1/3}}$
なので
$a_{C} = \frac{3}{5} \cdot \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r _{0}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1.44 MeV \cdot fm}{1.2 fm} = \frac{3}{5} \times 1.2 MeV = 0.72 MeV .$

（実際の質量公式の値 $a_{C} \approx 0.7 MeV$ とよく合う。）

別解

一様に帯電した半径 $R$ 、全電荷 $Q$ の球の静電エネルギーは、球殻を順に積み上げて
$U = \int_{0}^{R} \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q ( r ) d q}{r}$ 、 $q (r) = Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}}$ 、 $d q = 3 Q \frac{r ^{2}}{R ^{3}} d r$ より
$U = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{3 Q ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{3}{5} \frac{Q ^{2}}{4 π ε _{0} R}$ 。

$Q = Z e$ , $R = r_{0} A^{1/3}$ を代入して
$U = \frac{3}{5} \cdot \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0}} \cdot \frac{Z ^{2}}{r _{0} A ^{1/3}}$ 。
よって $a_{C} = \frac{3}{5} \cdot \frac{e ^{2} / ( 4 π ε _{0} )}{r _{0}} = \frac{3}{5} \times \frac{1.44}{1.2} = 0.6 \times 1.2 = 0.72 MeV$ 。

検算: $1.44/1.2 = 1.2$ 、 $3/5 \times 1.2 = 0.72$ 。

原子核・素粒子の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題