原子核・素粒子の問題

静止している ${}_6^{12}\mathrm{C}$ 原子核に、運動エネルギー $6.50\mathrm{MeV}$ の重陽子 $d$（${}_1^2\mathrm{H}$ の原子核）を入射させ、核反応
$$d+{}_6^{12}\mathrm{C}\to p+{}_6^{13}{\mathrm{C}}^{\ast }$$
を起こした。入射方向に対して $90^{\circ }$ の方向に放出された陽子の運動エネルギーを測ったところ $4.80\mathrm{MeV}$ であった。このとき生成された ${}_6^{13}\mathrm{C}$ は、基底状態から励起エネルギー $E_x$ だけ高い励起状態 ${}_6^{13}{\mathrm{C}}^{\ast }$ にあった。

基底状態の原子核の結合エネルギーを、${}_1^2\mathrm{H}$: $2.224\mathrm{MeV}$、${}_6^{12}\mathrm{C}$: $92.162\mathrm{MeV}$、${}_6^{13}\mathrm{C}$: $97.108\mathrm{MeV}$ とする。運動は非相対論的に扱い、運動量と運動エネルギーの計算では各粒子の質量を質量数に比例するとみなす（$p:d:{}^{12}\mathrm{C}:{}^{13}{\mathrm{C}}^{\ast }=1:2:12:13$）。

$E_x$ を MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

静止している ${}_3^6\mathrm{Li}$ 原子核が、運動エネルギーが無視できるほど小さい中性子（熱中性子）を吸収して、核反応
$$n+{}_3^6\mathrm{Li}\to {}_2^4\mathrm{He}+{}_1^3\mathrm{H}$$
を起こす。原子核の結合エネルギーを、${}_3^6\mathrm{Li}$: $31.994\mathrm{MeV}$、${}_2^4\mathrm{He}$: $28.296\mathrm{MeV}$、${}_1^3\mathrm{H}$: $8.482\mathrm{MeV}$ とする。

反応で生じた ${}_1^3\mathrm{H}$（三重水素の原子核）の運動エネルギーを MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。ただし、運動は非相対論的に扱い、運動量の計算では ${}_2^4\mathrm{He}$ と ${}_1^3\mathrm{H}$ の質量の比を $4:3$ とみなす。

静止している ${}^6\mathrm{Li}$ 原子核に、運動エネルギーが無視できるほど小さい中性子（熱中性子）が吸収され、次の核反応が起こる。
$${}^6\mathrm{Li}+n\to {}^4\mathrm{He}+{}^3\mathrm{H}$$
原子核の結合エネルギーは、${}^6\mathrm{Li}$ が $31.994\text{MeV}$、${}^4\mathrm{He}$ が $28.296\text{MeV}$、${}^3\mathrm{H}$ が $8.482\text{MeV}$ とする（中性子 1 個の結合エネルギーは $0$）。反応で生じる ${}^4\mathrm{He}$ と ${}^3\mathrm{H}$ の運動は非相対論的に扱い、それぞれの質量は質量数に比例するとみなす。

反応後の ${}^3\mathrm{H}$ の運動エネルギーは何 $\text{MeV}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

自由な陽子は崩壊しないが、十分なエネルギーをもつ電子を当てると、反応
$$e^{-}+p\to n+Y$$
が起こりうる。ここで $Y$ は ${\nu }_e,{\bar{\nu }}_e,{\nu }_{\mu },{\bar{\nu }}_{\mu },\gamma$ のいずれか 1 つの粒子であり、電荷・バリオン数・電子型レプトン数・ミュー型レプトン数がすべて保存するように決まる。各粒子の量子数は次のとおりである（反粒子は符号が反転する）。

• $e^{-}$: 電荷 $-1$、$L_e=1$
• $p$: 電荷 $+1$、バリオン数 $1$
• $n$: 電荷 $0$、バリオン数 $1$
• ${\nu }_e$: $L_e=1$、${\nu }_{\mu }$: $L_{\mu }=1$、$\gamma$: すべて $0$

（記載のない量子数は $0$ とする。）

静止質量エネルギーを $m_p{c}^2=938.27\mathrm{MeV}$、$m_n{c}^2=939.57\mathrm{MeV}$、$m_e{c}^2=0.511\mathrm{MeV}$ とし、$Y$ の質量は $0$ とする。静止している陽子に電子を入射させるとき、この反応が起こるための電子の運動エネルギーの最小値を、特殊相対論に基づいて MeV 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

静止している ${}_{88}^{226}\mathrm{Ra}$ 原子核が $\alpha$ 崩壊して ${}_{86}^{222}\mathrm{Rn}$ 原子核になる。各原子核の結合エネルギーは次のとおりとする。
$$B({}^{226}\mathrm{Ra})=1731.610\mathrm{MeV},B({}^{222}\mathrm{Rn})=1708.184\mathrm{MeV},B({}^4\mathrm{He})=28.296\mathrm{MeV}$$
測定の結果、この崩壊で放出される $\alpha$ 粒子のうち、運動エネルギー $4.601\mathrm{MeV}$ の $\alpha$ 粒子は、${}^{222}\mathrm{Rn}$ 原子核が励起状態にある崩壊で放出されたものであることがわかった。この励起状態の、基底状態から測った励起エネルギー $E_x$ を MeV 単位で求め、有効数字 3 桁で答えよ。

ただし、崩壊後の $\alpha$ 粒子と ${}^{222}\mathrm{Rn}$ 原子核の運動は非相対論的に扱い、運動エネルギーを分配する際の質量比は質量数の比で近似してよい。また、崩壊前の ${}^{226}\mathrm{Ra}$ 原子核は静止しており、崩壊は 2 体崩壊とする。