核反応と反応エネルギー

質量数と電気量の保存から核反応式の未知の粒子を決め、反応前後の質量の差（または結合エネルギーの差）から核反応（核分裂・核融合を含む）で放出されるエネルギーを求められる

前提

質量欠損と結合エネルギー（高校物理原子）

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説明

原子核どうしの衝突や、原子核が分かれる・くっつく変化を「核反応式」で表し、式の中の未知の粒子を決められるようになります。さらに、反応前後の質量の差、または結合エネルギーの差から、その反応で放出されるエネルギー（反応エネルギー）を求められます。原子力発電で使うウランの核分裂や、太陽の中で起こる水素の核融合など、核エネルギーの見積もりに使います。

なぜそうしてよいのか

核反応では、反応の前後で核子（陽子と中性子）の総数が変わらず、電気量の総和も変わりません。核反応式で各粒子の左上の数（質量数）は核子の数、左下の数（原子番号）は電気量（電気素量 $e$ を単位とする）を表します。そのため、左辺と右辺で左上の数の和どうし、左下の数の和どうしがそれぞれ等しくなります。この 2 つの式から、未知の粒子の質量数と原子番号がわかります。中性子は $_{0}^{1} n$ 、陽子は $_{1}^{1} H$ 、 $α$ 粒子は $_{2}^{4} He$ です。

反応エネルギーは、質量とエネルギーの同等性 $E = m c^{2}$ から考えます。静止している質量 $m$ の物体は $m c^{2}$ のエネルギーを持っているとみなせます。核反応の前後でエネルギーの総和は保存されるので、反応後に質量の合計が $Δ m$ だけ減れば、その分の $Δ m c^{2}$ が粒子の運動エネルギーなどとして外へ出てきます。つまり、 $Δ m = (反応前の質量の和) - (反応後の質量の和)$ として、放出エネルギーは $Q = Δ m c^{2}$ です。 $1 u$ が $931 MeV$ に相当することを使えば、 $Q [MeV] = Δ m [u] \times 931$ と計算できます。

結合エネルギーを使う方法もあります。原子核の質量は「(ばらばらの核子の質量の和) $-$ (結合エネルギー) $/ c^{2}$ 」です。陽子の総数と中性子の総数がそれぞれ反応の前後で変わらない反応では、核子の質量の和は前後で同じになります。たとえば、核分裂や核融合のように、ばらばらの陽子・中性子も粒子として数える反応がこれにあたります。このとき、核子の質量の和は差をとると打ち消し合い、 $Q = (反応後の結合エネルギーの和) - (反応前の結合エネルギーの和)$ となります。より強く結びついた原子核ができるほど、エネルギーが放出されます。なお、単独の陽子や中性子の結合エネルギーは $0$ として扱います。

手順

核反応式を書き、未知の粒子を $_{Z}^{A} X$ とおく。
質量数の保存（左辺の左上の数の和 $=$ 右辺の左上の数の和）から $A$ を求め、電気量の保存（左下の数の和が等しい）から $Z$ を求める。 $Z$ と $A$ から粒子を特定する（例： $Z = 0, A = 1$ なら中性子）。
反応前と反応後の質量の和をそれぞれ計算する。係数（例：中性子 3 個）があれば、その分も掛ける。
質量の差 $Δ m = (前の和) - (後の和)$ を求める。 $Δ m > 0$ ならエネルギーが放出される。
$Q = Δ m c^{2}$ を計算する。質量を u で表したときは $Q [MeV] = Δ m [u] \times 931$ とする。結合エネルギーが与えられているときは、 $Q = (後の結合エネルギーの和) - (前の結合エネルギーの和)$ で求めてもよい。

例題

重水素の原子核 2 個が衝突して、次の核融合反応が起こる。
$_{1}^{2} H +_{1}^{2} H \to_{2}^{3} He + X$
原子核の質量は $_{1}^{2} H$ が $2.01355 u$ 、 $_{2}^{3} He$ が $3.01493 u$ とする。中性子の質量は $1.00866 u$ 、陽子の質量は $1.00728 u$ とする。また、 $1 u$ の質量は $931 MeV$ のエネルギーに相当するものとする。粒子 X を特定したうえで、この反応 1 回で放出されるエネルギーは何 MeV か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

【手順1】未知の粒子を $_{Z}^{A} X$ とおきます。
【手順2】質量数の保存より $2 + 2 = 3 + A$ なので $A = 1$ です。電気量の保存より $1 + 1 = 2 + Z$ なので $Z = 0$ です。電荷が $0$ で質量数が $1$ なので、X は中性子 $_{0}^{1} n$ です（陽子ではないので、陽子の質量は使いません）。
【手順3】反応前の質量の和は $2.01355 \times 2 = 4.02710 u$ です。反応後の質量の和は $3.01493 + 1.00866 = 4.02359 u$ です。
【手順4】 $Δ m = 4.02710 - 4.02359 = 0.00351 u$ です。正なので、エネルギーが放出されます。
【手順5】 $Q = 0.00351 \times 931 = 3.26781 \dots MeV$ です。有効数字 2 桁に丸めて、 $3.3 MeV$ となります。

答え: $3.3$

よくある誤り

質量の差を「後 $-$ 前」で計算し、放出エネルギーを負の値にしてしまう誤り。正しくは $Δ m = (前の和) - (後の和)$ とします。例題では $4.02710 - 4.02359 = + 0.00351 u$ です。
核分裂の式 $_{92}^{235} U +_{0}^{1} n \to_{56}^{141} Ba +_{36}^{92} Kr + 3_{0}^{1} n$ で、係数 3 を忘れて中性子 1 個分の質量しか引かない誤り。正しくは、右辺の中性子の質量を $3 \times m_{n}$ として計算します。質量数も $235 + 1 = 141 + 92 + 3 \times 1$ のように係数を掛けて確かめます。
質量数と原子番号を取り違え、未知の粒子を誤って決めてしまう誤り。たとえば $_{1}^{2} H +_{1}^{2} H \to_{2}^{3} He + X$ で、質量数の差 $1$ だけを見て X を陽子 $_{1}^{1} H$ としてしまうことがあります。正しくは、電気量も $1 + 1 = 2 + Z$ から $Z = 0$ と確かめ、X は中性子 $_{0}^{1} n$ とします。
結合エネルギーの差を使うときに、核子 1 個あたりの結合エネルギーをそのまま引き算してしまう誤り。正しくは、核子 1 個あたりの値に質量数を掛けて原子核全体の結合エネルギーにしてから差をとります。例： $_{2}^{4} He$ の核子 1 個あたり $7.07 MeV$ なら、原子核全体は $4 \times 7.07 = 28.28 MeV$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

結合エネルギーと核反応の Q 値（大学物理原子核・素粒子）