原子核の構成と放射性崩壊

$_{Z}^{A} X$ の陽子数・中性子数を読み取り、 $α$ 崩壊（ $A - 4, Z - 2$ ）・ $β$ 崩壊（ $Z + 1$ ）による変化から、崩壊後の原子核や $α$ ・ $β$ 崩壊の回数を求められる

前提

エネルギー資源と放射線（中学理科物理分野の用語と知識）
原子・分子と化学式（中学理科化学分野の用語と知識）
連立方程式の解き方（加減法・代入法）（中学数学方程式）

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算数中学高校大学大学院

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説明

原子核の記号 $_{Z}^{A} X$ から、その原子核に含まれる陽子と中性子の数を読み取れるようになります。また、原子核が $α$ 線や $β$ 線を出して別の原子核に変わること（放射性崩壊）を扱えるようになります。崩壊後の原子核を決めることや、 $α$ 崩壊・ $β$ 崩壊が何回起きたかを求めることができます。ウランが何段階も崩壊して鉛になる「崩壊系列」などの問題で使います。

なぜそうしてよいのか

原子核は陽子と中性子からできており、この 2 つをまとめて核子と呼びます。記号 $_{Z}^{A} X$ の左下の $Z$ は原子番号で、陽子の数を表します。左上の $A$ は質量数で、陽子と中性子の数の合計を表します。したがって、中性子の数は $N = A - Z$ です。元素の種類（X の部分）は陽子の数 $Z$ だけで決まるので、 $Z$ が変われば別の元素になります。

$α$ 崩壊では、原子核が $α$ 粒子を放出します。 $α$ 粒子はヘリウムの原子核 $_{2}^{4} He$ で、陽子 2 個と中性子 2 個でできています。核子 4 個がまとまって出ていくので、もとの原子核は $A$ が 4 減り、 $Z$ が 2 減ります。 $β$ 崩壊（ $β^{-}$ 崩壊）では、原子核の中の中性子 1 個が陽子 1 個に変わり、電子（ $β$ 線）が放出されます。このとき反ニュートリノという電荷をもたない粒子も出ますが、 $A$ と $Z$ には関係しません。核子の総数は変わらないので $A$ はそのままで、陽子が 1 個増えるので $Z$ が 1 増えます。なお、 $γ$ 線を出すだけの変化では、電磁波を出すだけなので $A$ も $Z$ も変わりません。

どの崩壊でも、反応の前後で質量数の合計と電荷の合計は保存されます。たとえば $β$ 崩壊では、陽子が 1 個増えて $+ 1$ 、電子が 1 個出て $- 1$ となり、全体の電荷は変わりません。質量数 $A$ を変えるのは $α$ 崩壊だけです（ $β$ 崩壊では $A$ は変わりません）。そこで、まず質量数の変化から $α$ 崩壊の回数を決めます。次に、原子番号のずれから $β$ 崩壊の回数を決めます。

手順

原子核の記号 $_{Z}^{A} X$ から、陽子数 $Z$ と中性子数 $N = A - Z$ を読み取る。
崩壊のきまりを確認する。 $α$ 崩壊 1 回で $A \to A - 4, Z \to Z - 2$ となる。 $β$ 崩壊 1 回で $A$ は変わらず、 $Z \to Z + 1$ となる。
崩壊前と崩壊後の質量数の差から、 $α$ 崩壊の回数を決める。 $β$ 崩壊では $A$ が変わらないので、 $x = \frac{A _{前} - A _{後}}{4}$ となる（ $x$ は 0 以上の整数になる）。
$α$ 崩壊だけが起きたときの原子番号 $Z_{前} - 2 x$ を計算する。これと実際の $Z_{後}$ との差から、 $β$ 崩壊の回数 $y = Z_{後} - (Z_{前} - 2 x)$ を決める。
検算として、 $A_{前} - 4 x = A_{後}$ と $Z_{前} - 2 x + y = Z_{後}$ が両方成り立つことを確かめる。

例題

ウランの原子核 $_{92}^{238} U$ は、 $α$ 崩壊と $β$ 崩壊を何回かくり返して、鉛の原子核 $_{82}^{206} Pb$ になる。この間に起きた $α$ 崩壊の回数と $β$ 崩壊の回数を、この順に求めよ。

例題の解答

手順 1： $_{92}^{238} U$ は陽子 92 個、中性子 $238 - 92 = 146$ 個です。 $_{82}^{206} Pb$ は陽子 82 個、中性子 $206 - 82 = 124$ 個です。

手順 2： $α$ 崩壊は 1 回あたり $A$ を 4、 $Z$ を 2 減らします。 $β$ 崩壊は 1 回あたり $A$ を変えず、 $Z$ を 1 増やします。

手順 3：質量数を変えるのは $α$ 崩壊だけです。よって、 $α$ 崩壊の回数は $x = \frac{238 - 206}{4} = \frac{32}{4} = 8$ 回です。

手順 4： $α$ 崩壊が 8 回だけなら、原子番号は $92 - 2 \times 8 = 76$ になります。実際は 82 なので、 $β$ 崩壊の回数は $y = 82 - 76 = 6$ 回です。

手順 5（検算）：質量数は $238 - 4 \times 8 = 206$ 、原子番号は $92 - 16 + 6 = 82$ です。どちらも $_{82}^{206} Pb$ と一致します。

よって、 $α$ 崩壊は 8 回、 $β$ 崩壊は 6 回です。

答え: $(8, 6)$

よくある誤り

$β$ 崩壊で原子番号が 1 減るとしてしまう誤り。正しくは、中性子が陽子に変わるので $Z \to Z + 1$ と増える。例えば $_{6}^{14} C$ は $β$ 崩壊で $_{7}^{14} N$ になる。
$α$ 崩壊で質量数が 2 減るとしてしまう誤り。正しくは、 $α$ 粒子 $_{2}^{4} He$ は核子 4 個を含むので、 $A \to A - 4$ 、 $Z \to Z - 2$ となる。
原子番号の差から先に $β$ 崩壊の回数を決めてしまう誤り。例えば $92 - 82 = 10$ を回数の手がかりにすると、答えを誤る。正しくは、まず $A$ の差から $α$ 崩壊の回数（ $32 \div 4 = 8$ ）を決める。その後に $Z$ のずれ $82 - (92 - 16) = 6$ から $β$ 崩壊の回数を決める。
中性子の数を質量数 $A$ そのものとしてしまう誤り。正しくは、 $A$ は陽子と中性子の合計なので、中性子数は $N = A - Z$ である（ $_{92}^{238} U$ なら $238 - 92 = 146$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能の次に学べること

半減期（高校物理原子）
質量欠損と結合エネルギー（高校物理原子）