半減期

$N = N_{0} (\frac{1}{2})^{t / T}$ を使い、経過時間から残りの原子核の数、残りの割合から経過時間や半減期を求められる。半減期の異なる 2 種類の原子核の数の比の時間変化も求められる

前提

原子核の構成と放射性崩壊（高校物理原子）
指数方程式・指数不等式の基本（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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指数方程式・指数不等式の基本（数学II 指数関数と対数関数）

説明

放射性の原子核は、一定の時間がたつごとに、崩壊せずに残っている数が半分になっていきます。この「半分になるまでの時間」を半減期といいます。半減期を使うと、経過時間から残りの原子核の数を求めることができます。逆に、残りの割合から経過時間や半減期を求めることもできます。年代測定、医療用の放射性物質の管理、原子炉の燃料の量の見積もりなどで使います。

なぜそうしてよいのか

放射性崩壊は、一つひとつの原子核がいつ崩壊するかは偶然で決まります。ただし、どの原子核も、ある時間内に崩壊する確率は同じです。その確率は、その原子核ができてからの時間にも、まわりにある原子核の数にもよりません。そのため、はじめに何個あっても、同じ長さの時間がたつと、残っている数は必ず同じ割合に減ります。とくに、残りがちょうど半分になる時間を半減期 $T$ とよびます。崩壊した原子核は消えるのではなく、 $α$ 崩壊や $β$ 崩壊によって別の原子核に変わっています。ここで数えるのは「まだ崩壊していない、もとの種類の原子核」の数です。

はじめの数を $N_{0}$ とします。時間 $T$ たつと $N_{0} \times \frac{1}{2}$ 個、さらに $T$ たつとその半分の $N_{0} \times (\frac{1}{2})^{2}$ 個になります。時間 $t = k T$ がたつと、半分になることを $k$ 回くり返すので、残りは $N_{0} (\frac{1}{2})^{k}$ 個です。 $k = \frac{t}{T}$ なので、次の式が成り立ちます。 $N = N_{0} (\frac{1}{2})^{t / T}$ 「同じ時間ごとに同じ割合をかける」という性質は、 $t / T$ が整数でなくても成り立ちます。指数の拡張を使えば、 $t = \frac{T}{2}$ なら $(\frac{1}{2})^{1/2} = \frac{1}{2}$ 倍のように、どんな時間 $t$ にもこの式を使えます。

半減期 $T_{A}$ , $T_{B}$ の 2 種類の原子核 A, B があるとき、数の比は次のようになります。 $\frac{N _{A}}{N _{B}} = \frac{N _{A 0}}{N _{B 0}} (\frac{1}{2})^{t / T_{A} - t / T_{B}}$ 半減期の短いほうが速く減るので、比は時間とともに変わっていきます。

手順

はじめの数 $N_{0}$ 、半減期 $T$ 、経過時間 $t$ のうち、わかっているものと求めるものを整理する。 $t$ と $T$ の単位（秒・日・年など）をそろえる。
$\frac{t}{T}$ （半減期の何回分の時間がたったか）を計算する。
残りの数を求めるときは、 $N = N_{0} (\frac{1}{2})^{t / T}$ に代入する。崩壊した数を問われたら、 $N_{0} - N$ を計算する。
残りの割合 $\frac{N}{N _{0}}$ から時間や半減期を求めるときは、まず割合を $(\frac{1}{2})^{k}$ の形に直す（例: $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^{3}$ ）。そのあと、指数どうしを比べて $\frac{t}{T} = k$ とする。
2 種類の原子核の数の比は、それぞれに式を立てて割り算する。 $\frac{N _{A}}{N _{B}} = \frac{N _{A 0}}{N _{B 0}} (\frac{1}{2})^{t / T_{A} - t / T_{B}}$ を使う。

例題

半減期が $8.0$ 日の放射性原子核（ヨウ素 131）が、はじめに $1.6 \times 1 0^{12}$ 個ある。 $24$ 日後に、崩壊せずに残っている原子核は何個か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1: $N_{0} = 1.6 \times 1 0^{12}$ 個、 $T = 8.0$ 日、 $t = 24$ 日です。 $t$ と $T$ はどちらも単位が「日」なので、そのまま使えます。

手順2: $\frac{t}{T} = \frac{24}{8.0} = 3$ です。半減期 3 回分の時間がたったことになります。

手順3: 式に代入します。 $N = N_{0} (\frac{1}{2})^{t / T} = 1.6 \times 1 0^{12} \times (\frac{1}{2})^{3} = 1.6 \times 1 0^{12} \times \frac{1}{8} = 2.0 \times 1 0^{11}$ したがって、残っている原子核は $2.0 \times 1 0^{11}$ 個です。

答え: $2.0 \times 1 0^{11}$

よくある誤り

一定の時間ごとに同じ「数」ずつ減ると考え、半減期の 2 倍の時間で全部なくなるとしてしまう誤り。正しくは、毎回「残っているものの半分」になります。そのため $2 T$ 後の残りは $N_{0} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} N_{0}$ で、 $0$ にはなりません。
指数を $\frac{T}{t}$ と逆にしてしまう誤り。例えば $T = 8.0$ 日、 $t = 24$ 日で $(\frac{1}{2})^{1/3}$ としてしまう。正しくは、指数は「半減期の何回分の時間がたったか」を表す $\frac{t}{T} = 3$ なので、 $(\frac{1}{2})^{3}$ です。
「崩壊した数」と「残っている数」を取り違える誤り。例えば $3 T$ 後に崩壊した数を $\frac{1}{8} N_{0}$ としてしまう。正しくは、残りが $\frac{1}{8} N_{0}$ で、崩壊した数は $N_{0} - \frac{1}{8} N_{0} = \frac{7}{8} N_{0}$ です。
$t$ と $T$ の単位をそろえずに割ってしまう誤り。例えば $T = 12$ 時間、 $t = 2.0$ 日で $\frac{t}{T} = \frac{2.0}{12}$ としてしまう。正しくは、 $t = 48$ 時間に直して $\frac{t}{T} = \frac{48}{12} = 4$ とします。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

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放射性崩壊の法則と分岐崩壊（大学物理原子核・素粒子）