原子の問題

ある金属の表面に単色光を当て、光電効果によって飛び出す光電子の運動エネルギーの最大値を、阻止電圧（光電流が $0$ になるときの、陰極に対する陽極の電位の低さ）を測ることで調べた。振動数 $8.0\times 10^{14}\text{Hz}$ の光を当てたときの阻止電圧は $1.23\text{V}$、振動数 $6.0\times 10^{14}\text{Hz}$ の光を当てたときの阻止電圧は $0.40\text{V}$ であった。この 2 つの測定結果だけを用いて、この金属の限界振動数は何 $\text{Hz}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、光電子の運動エネルギーの最大値は、光の振動数に対して 1 次関数の関係にあるものとする。

光電管の陰極に、波長 $5.0\times 10^{-7}\text{m}$ の単色光を、毎秒 $2.0\times 10^{-3}\text{J}$ のエネルギー（仕事率 $2.0\text{mW}$）で当てたところ、光電効果が起こった。陰極に当たった光子のうち $1.0\%$ が、それぞれ 1 個ずつ光電子を飛び出させるものとする。陽極の電位を陰極より十分高くして、飛び出した光電子がすべて陽極に達するようにしたとき、光電管を流れる電流（飽和電流）の大きさは何 $\mu \text{A}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $6.6\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$、真空中の光の速さを $3.0\times 10^8\text{m/s}$、電気素量を $1.6\times 10^{-19}\text{C}$ とする。

ある放射性の原子核 X は、半減期 $8.0$ 日で崩壊して安定な原子核 Y に変わる。Y はそれ以上崩壊しない。時刻 $0$ において、試料には X だけが含まれていて Y は含まれていなかった。試料から X や Y が出入りすることはないものとする。

試料中の Y の原子核の数が、X の原子核の数のちょうど $15$ 倍になるのは、時刻 $0$ から何日後か。

放射性の原子核 A と B がある。A の半減期は $2.0$ 時間、B の半減期は $3.0$ 時間である。ある試料には、時刻 $0$ において A と B がちょうど $16:3$ の個数の比で含まれている。A, B が崩壊してできる原子核はどれも A でも B でもなく、試料に A, B が新たに加わったり、試料から出て行ったりすることはない。

ある原子核について、単位時間あたりに崩壊する原子核の数は、その時点で残っている原子核の数に比例し、その原子核の半減期に反比例する（比例定数は A と B で共通）ものとする。

A の単位時間あたりに崩壊する数と、B の単位時間あたりに崩壊する数が等しくなるのは、時刻 $0$ から何時間後か。

重水素の原子核 ${}_1^2\mathrm{H}$ と三重水素の原子核 ${}_1^3\mathrm{H}$ が核融合すると、次の核反応が起こる。
$${}_1^2\mathrm{H}+{}_1^3\mathrm{H}⟶{}_2^4\mathrm{He}+{}_0^1\mathrm{n}$$
核子 1 個あたりの結合エネルギーは、${}_1^2\mathrm{H}$ が $1.11\text{MeV}$、${}_1^3\mathrm{H}$ が $2.83\text{MeV}$、${}_2^4\mathrm{He}$ が $7.07\text{MeV}$ である。反応前の ${}_1^2\mathrm{H}$ と ${}_1^3\mathrm{H}$ の運動エネルギーと運動量は無視できるほど小さく、この反応で放出されたエネルギーはすべて ${}_2^4\mathrm{He}$ と中性子の運動エネルギーになるものとする。また、${}_2^4\mathrm{He}$ と中性子の質量の比は $4:1$ とし、速さは光の速さに比べて十分小さいものとする。反応後の中性子の運動エネルギーは何 $\text{MeV}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。