指数方程式・指数不等式の基本

両辺の底をそろえて指数を比べ、 $2^{x + 1} = 8$ や $(\frac{1}{3})^{x} > 9$ のような方程式・不等式を解ける。底が $1$ より小さいと不等号の向きが変わることにも対応できる

前提

指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
1 次不等式（数学I 数と式）

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算数中学高校大学大学院

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説明

指数に未知数 $x$ を含む方程式や不等式を、両辺を同じ底の累乗 $a^{p}$ と $a^{q}$ の形にそろえて、指数 $p, q$ の比較に直して解く方法です。 $2^{x + 1} = 8$ のような方程式は、指数どうしの 1 次方程式になります。 $(\frac{1}{3})^{x} > 9$ のような不等式は、指数どうしの 1 次不等式になります。このとき底が $1$ より大きいか小さいかで、不等号の向きが変わるかどうかが決まります。

なぜそうしてよいのか

底 $a$ が $a > 0, a \neq = 1$ のとき、指数関数 $y = a^{x}$ のグラフは、 $a > 1$ なら右に行くほど上がり続け（増加）、 $0 < a < 1$ なら右に行くほど下がり続けます（減少）。どちらの場合も、同じ高さの点はグラフ上に 1 つしかありません。したがって $a^{p} = a^{q}$ ならば $p = q$ です。逆に $p = q$ ならもちろん $a^{p} = a^{q}$ なので、方程式は指数の等式に置きかえられます。

不等式では、グラフの向きで結論が変わります。 $a > 1$ のときは増加なので「指数が大きいほど値も大きい」が成り立ち、 $a^{p} < a^{q} ⟺ p < q$ です。 $0 < a < 1$ のときは減少なので「指数が大きいほど値は小さい」となり、 $a^{p} < a^{q} ⟺ p > q$ と不等号の向きが逆になります。たとえば $(\frac{1}{2})^{1} = \frac{1}{2}$ と $(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$ では、指数は $1 < 3$ なのに値は $\frac{1}{2} > \frac{1}{8}$ です。

底をそろえるには、指数の拡張で学んだ $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ 、 $a^{0} = 1$ 、 $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ を使います。たとえば $9 = 3^{2}$ 、 $\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ 、 $27 = (\frac{1}{3})^{- 3}$ 、 $1 = a^{0}$ と書き直せます。

手順

両辺に現れる数を、共通の底 $a$ （ $a > 0, a \neq = 1$ ）の累乗で表す。例: $8 = 2^{3}$ , $\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ , $27 = (\frac{1}{3})^{- 3}$
指数法則で両辺をそれぞれ $a^{p}$ , $a^{q}$ の 1 つの累乗の形にまとめる。例: $4^{x} = (2^{2})^{x} = 2^{2 x}$
底 $a$ が $a > 1$ か $0 < a < 1$ かを確認する
指数の式に直す。方程式なら $p = q$ とする。不等式で $a > 1$ なら不等号の向きはそのまま、 $0 < a < 1$ なら向きを逆にする
できた 1 次方程式・1 次不等式を解く。不等式で負の数をかける・割るときは、ここでも向きの変化に注意する

例題

不等式 $(\frac{1}{3})^{2 x - 1} < 27$ を解け。

例題の解答

【手順1】右辺を底 $\frac{1}{3}$ の累乗で表す。 $27 = 3^{3}$ であり、 $(\frac{1}{3})^{- 1} = 3$ なので $27 = ((\frac{1}{3})^{- 1})^{3} = (\frac{1}{3})^{- 3}$ である。
【手順2】不等式は $(\frac{1}{3})^{2 x - 1} < (\frac{1}{3})^{- 3}$ となる。
【手順3】底は $\frac{1}{3}$ で、 $0 < \frac{1}{3} < 1$ である。
【手順4】底が $1$ より小さいので、指数を比べるときは不等号の向きを逆にする。 $2 x - 1 > - 3$ 。
【手順5】 $2 x > - 2$ となる。両辺を正の数 $2$ で割ると $x > - 1$ である。
答え: $x > - 1$

答え: $x > - 1$

よくある誤り

底が $1$ より小さいのに不等号の向きをそのままにしてしまう誤り。 $(\frac{1}{2})^{x} > (\frac{1}{2})^{3}$ から $x > 3$ とするのは誤りで、正しくは $x < 3$ 。
底をそろえずに指数と数をそのまま比べてしまう誤り。 $2^{x + 1} = 8$ から $x + 1 = 8$ とするのは誤りで、正しくは $8 = 2^{3}$ と直して $x + 1 = 3$ 、つまり $x = 2$ 。
底を変えたときに指数をかけ忘れる誤り。 $4^{x} = 8$ を $2^{x} = 2^{3}$ とするのは誤りで、正しくは $4^{x} = (2^{2})^{x} = 2^{2 x}$ より $2 x = 3$ 、つまり $x = \frac{3}{2}$ 。
逆数を累乗で表すときに符号を誤る誤り。 $\frac{1}{9} = 3^{2}$ とするのは誤りで、正しくは $\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ 。同じく $(\frac{1}{3})^{x} = 3^{- x}$ であり、 $3^{x}$ ではない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

置き換えによる指数方程式・不等式（数学II 指数関数と対数関数）
半減期（高校物理原子）