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指数関数と対数関数の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学II 指数関数と対数関数

$x$ は実数とする。不等式 $lo g_{2} (3^{x} - 1) ≦ lo g_{3} (2^{x} + 1)$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

この問題で使うもの

対数方程式・対数不等式（説明と入口の問題）
指数方程式・指数不等式の基本（説明と入口の問題）
対数関数のグラフと大小比較（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

両辺はどちらも $x$ の増加関数なので、そのまま差を調べても方針が立ちにくい。両辺をそれぞれ $a, b$ とおき、指数の形に直してみよう。

ヒント 2

$a = lo g_{2} (3^{x} - 1)$ , $b = lo g_{3} (2^{x} + 1)$ とおくと $3^{x} = 2^{a} + 1$ , $3^{b} = 2^{x} + 1$ 。増加関数 $h (u) = lo g_{3} (2^{u} + 1)$ を使うと $x = h (a)$ , $b = h (x)$ と書ける。

ヒント 3

$x$ と $h (x)$ の大小で場合分けすると、 $x < h (x)$ なら $a < x < b$ 、 $x > h (x)$ なら $a > x > b$ となる。したがって不等式は $x ≦ h (x)$ 、つまり $3^{x} ≦ 2^{x} + 1$ と同値になる。

答えと解説

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0 < x ≦ 1

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解説を読む

真数条件 $3^{x} - 1 > 0$ より $3^{x} > 1$ 、すなわち $x > 0$ である。 $2^{x} + 1 > 0$ は常に成り立つ。以下 $x > 0$ とする。

言い換え 両辺を
$a = lo g_{2} (3^{x} - 1), b = lo g_{3} (2^{x} + 1)$
とおくと
$3^{x} = 2^{a} + 1 (1), 3^{b} = 2^{x} + 1 (2)$
である。ここで実数全体で定義された関数
$h (u) = lo g_{3} (2^{u} + 1)$
を考える。 $2^{u} + 1$ は $u$ について増加し、底 $3 > 1$ の対数も増加関数なので、 $h (u)$ は狭義の増加関数である。

$(1)$ の両辺の底 $3$ の対数をとると $x = lo g_{3} (2^{a} + 1) = h (a)$ 、また $(2)$ より $b = h (x)$ である。つまり
$h (a) = x, b = h (x)$
という同じ関数 $h$ による関係が得られる。これを使って $a$ と $b$ を、それぞれ $x$ と比べる。

場合分け

(i) $x < h (x)$ のとき。 $h (a) = x < h (x)$ で $h$ は増加関数だから $a < x$ 。また $x < h (x) = b$ 。よって $a < x < b$ となり、不等式 $a ≦ b$ は成り立つ。

(ii) $x = h (x)$ のとき。 $h (a) = x = h (x)$ より $a = x$ 、また $b = h (x) = x$ 。よって $a = b$ で、不等式は成り立つ。

(iii) $x > h (x)$ のとき。 $h (a) = x > h (x)$ より $a > x$ 、また $x > h (x) = b$ 。よって $a > x > b$ となり、不等式は成り立たない。

したがって、もとの不等式は $x ≦ h (x)$ と同値である。

$x ≦ h (x)$ を解く $x ≦ lo g_{3} (2^{x} + 1)$ は底 $3 > 1$ より
$3^{x} ≦ 2^{x} + 1$
と同値で、両辺を $3^{x} > 0$ で割ると
$(\frac{2}{3})^{x} + (\frac{1}{3})^{x} ≧ 1$
となる。左辺を $g (x)$ とおくと、底 $\frac{2}{3}, \frac{1}{3}$ はともに $1$ より小さいので $g (x)$ は狭義の減少関数であり、 $g (1) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1$ である。よって $g (x) ≧ 1 ⟺ x ≦ 1$ 。

まとめ 真数条件 $x > 0$ とあわせて、求める範囲は
$0 < x ≦ 1$
である。

（確認： $x = 1$ のとき左辺 $= lo g_{2} 2 = 1$ 、右辺 $= lo g_{3} 3 = 1$ で等号が成り立つ。 $x = 2$ のとき左辺 $= lo g_{2} 8 = 3$ 、右辺 $= lo g_{3} 5 < 2$ で成り立たない。）

別解

真数条件: $3^{x} - 1 > 0$ より $x > 0$ （ $2^{x} + 1 > 0$ は常に成り立つ）。以下 $x > 0$ で考える。

次の 2 つの事実を使う。
(i) $(\frac{2}{3})^{x} + (\frac{1}{3})^{x}$ は $x$ について単調減少で、 $x = 1$ のとき $1$ 。よって $x > 1$ なら $2^{x} + 1 < 3^{x}$ 、 $0 < x < 1$ なら $2^{x} + 1 > 3^{x}$ 。
(ii) $p (x) = 3^{x} - 2^{x}$ は $x > 0$ で単調増加（ $p^{'} (x) = 3^{x} lo g 3 - 2^{x} lo g 2 > 0$ ）で、 $p (1) = 1$ 。よって $x > 1$ なら $3^{x} - 1 > 2^{x}$ 、 $0 < x < 1$ なら $3^{x} - 1 < 2^{x}$ 。

(a) $x > 1$ のとき: (ii) より $lo g_{2} (3^{x} - 1) > lo g_{2} 2^{x} = x$ 。(i) より $lo g_{3} (2^{x} + 1) < lo g_{3} 3^{x} = x$ 。よって左辺 $> x >$ 右辺となり不等式は成り立たない。

(b) $0 < x < 1$ のとき: (ii) より $lo g_{2} (3^{x} - 1) < x$ 。(i) より $lo g_{3} (2^{x} + 1) > x$ 。よって左辺 $< x <$ 右辺となり不等式が成り立つ。

よって解は $0 < x ≦ 1$ 。

検算: $x = \frac{1}{2}$ で左辺 $= lo g_{2} (3 - 1) \approx - 0.45$ 、右辺 $= lo g_{3} (2 + 1) \approx 0.80$ で成立。 $x = 2$ で左辺 $= 3$ 、右辺 $= lo g_{3} 5 \approx 1.46$ で不成立。

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