指数関数と対数関数の問題

方針：両辺を同じ底 $\frac{1}{3}$ の累乗で表してから、指数を比べます。

手順1：右辺の底をそろえる

$27=3^3$ です。$\frac{1}{3}=3^{-1}$ なので、$3={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}$ です。よって
$$27=3^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}$$
と表せます。したがって、不等式は
$${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x-1}<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}$$
となります。

手順2：指数を比べる（不等号の向きに注意）

底 $\frac{1}{3}$ は $0<\frac{1}{3}<1$ です。このとき指数関数 $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ は減少関数です。つまり、指数が大きいほど値は小さくなります。

そのため、累乗の大小と指数の大小は逆になり、不等号の向きが変わります。
$$2x-1>-3$$

手順3：1次不等式を解く
$$2x>-2$$
$$x>-1$$

確認：たとえば $x=0$ のとき、左辺は ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3<27$ となり、不等式を満たします。

答え：$x>-1$

$27=3^3$ であり、${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x-1}=3^{-(2x-1)}=3^{1-2x}$ と書ける。したがって不等式は $3^{1-2x}<3^3$ となる。底 $3>1$ なので指数について $1-2x<3$。これを解くと $-2x<2$、よって $x>-1$。
検算: $x=0$ のとき左辺は ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3<27$ で成り立つ。$x=-1$ のとき左辺は ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=27$ で等号となり、不等式 $<$ は成り立たない。$x=-2$ のとき左辺は ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-5}=243>27$ で成り立たない。したがって答えは $x>-1$。