指数関数と対数関数の問題

手順1：真数条件を確かめる

真数は正でなければならないので
$$x-3>0\text{かつ}x-1>0$$
よって $x>3$ である。$\cdots (1)$

手順2：底の変換で底をそろえる

右辺の底 $\frac{1}{4}$ を $\frac{1}{2}$ にそろえる。${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}=2$ であるから
$${\log }_{\frac{1}{4}}(x-1)=\frac{{\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)}{{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)$$
したがって、不等式は
$${\log }_{\frac{1}{2}}(x-3)\geqq \frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)$$
両辺を $2$ 倍して
$$2{\log }_{\frac{1}{2}}(x-3)\geqq {\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)$$
左辺は $2{\log }_{\frac{1}{2}}(x-3)={\log }_{\frac{1}{2}}(x-3{)}^2$ なので
$${\log }_{\frac{1}{2}}(x-3{)}^2\geqq {\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)$$

手順3：真数の不等式に直す（不等号の向きに注意）

底 $\frac{1}{2}$ は $1$ より小さいので、$y={\log }_{\frac{1}{2}}t$ は減少関数である。よって真数の大小は逆になり
$$(x-3{)}^2\leqq x-1$$
展開して整理すると
$$x^2-6x+9\leqq x-1$$
$$x^2-7x+10\leqq 0$$
$$(x-2)(x-5)\leqq 0$$
よって $2\leqq x\leqq 5$ である。$\cdots (2)$

手順4：真数条件と合わせる

$(1)$ と $(2)$ の共通範囲を求めて
$$3<x\leqq 5$$

真数条件より $x-3>0$ かつ $x-1>0$ なので $x>3$。

底を $\frac{1}{2}$ にそろえる。${\log }_{\frac{1}{4}}(x-1)=\frac{{\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)}{{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)$ である。

不等式は ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-3)\geqq \frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)={\log }_{\frac{1}{2}}\sqrt{x-1}$ となる。

底 $\frac{1}{2}$ は $1$ より小さいので、真数の大小は逆になる。よって $x-3\leqq \sqrt{x-1}$。

$x>3$ のとき両辺は正なので、2乗して $(x-3{)}^2\leqq x-1$。
$x^2-6x+9\leqq x-1$ より $x^2-7x+10\leqq 0$、すなわち $(x-2)(x-5)\leqq 0$ で $2\leqq x\leqq 5$。

$x>3$ との共通部分は $3<x\leqq 5$。

検算：$x=5$ のとき、左辺は ${\log }_{\frac{1}{2}}2=-1$、右辺は ${\log }_{\frac{1}{4}}4=-1$ で等号が成立する。$x=4$ のとき、左辺は ${\log }_{\frac{1}{2}}1=0$、右辺は ${\log }_{\frac{1}{4}}3<0$ なので成立する。$x=6$ のとき、左辺は ${\log }_{\frac{1}{2}}3\approx -1.585$、右辺は ${\log }_{\frac{1}{4}}5\approx -1.161$ で不成立。