指数関数と対数関数の問題

真数条件

真数は正なので $x-1>0$ かつ $x+2>0$ です。よって
$$x>1(1)$$

底を 2 にそろえる

底の変換公式を使います。
$${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)=\frac{{\log }_2(x-1)}{{\log }_2\frac{1}{2}}=\frac{{\log }_2(x-1)}{-1}=-{\log }_2(x-1)$$
$${\log }_{\frac{1}{4}}(x+2)=\frac{{\log }_2(x+2)}{{\log }_2\frac{1}{4}}=\frac{{\log }_2(x+2)}{-2}=-\frac{1}{2}{\log }_2(x+2)$$

これらを代入すると、不等式は
$$-{\log }_2(x-1)\ge -\frac{1}{2}{\log }_2(x+2)-1$$
となります。

整理する

両辺に $-2$ を掛けます。負の数を掛けるので不等号の向きが変わり、
$$2{\log }_2(x-1)\le {\log }_2(x+2)+2$$

$2={\log }_{2}4$ であり、$(1)$ のもとで $2{\log }_2(x-1)={\log }_2(x-1{)}^2$ なので、
$${\log }_2(x-1{)}^2\le {\log }_{2}4(x+2)$$

底 $2$ は $1$ より大きいので、真数の大小関係は対数の大小関係と同じ向きです。よって
$$(x-1{)}^2\le 4(x+2)$$

展開して整理します。
$$x^2-2x+1\le 4x+8$$
$$x^2-6x-7\le 0$$
$$(x-7)(x+1)\le 0$$
$$-1\le x\le 7(2)$$

まとめ

$(1)$ と $(2)$ の共通範囲を求めて、
$$1<x\le 7$$

(確認: $x=7$ のとき 左辺 $={\log }_{\frac{1}{2}}6=-{\log }_{2}6$、右辺 $={\log }_{\frac{1}{4}}9-1=-{\log }_{2}3-1=-{\log }_{2}6$ となり、等号が成り立ちます。)

真数条件より $x-1>0$ かつ $x+2>0$ なので $x>1$。

底を 2 にそろえると、${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)=-{\log }_2(x-1)$、${\log }_{\frac{1}{4}}(x+2)=-\frac{1}{2}{\log }_2(x+2)$。

不等式は $-{\log }_2(x-1)\ge -\frac{1}{2}{\log }_2(x+2)-1$ となる。両辺に $-2$ を掛けると不等号の向きが変わり、$2{\log }_2(x-1)\le {\log }_2(x+2)+2$。

よって ${\log }_2(x-1{)}^2\le {\log }_{2}4(x+2)$。底 2 は 1 より大きいので $(x-1{)}^2\le 4(x+2)$。

整理して $x^2-6x-7\le 0$、すなわち $(x-7)(x+1)\le 0$ より $-1\le x\le 7$。

$x>1$ と合わせて $1<x\le 7$。

検算: $x=7$ のとき、左辺は $-{\log }_{2}6$。右辺は $-\frac{1}{2}{\log }_{2}9-1=-{\log }_{2}3-1=-{\log }_{2}6$ で等号が成立する。$x=2$ のとき、左辺は $0$、右辺は $-\frac{1}{2}\cdot 2-1=-2$ なので $0\ge -2$ で成り立つ。$x=8$ のとき、左辺は $-{\log }_{2}7\approx -2.807$、右辺は $-\frac{1}{2}{\log }_{2}10-1\approx -2.661$ で、$-2.807<-2.661$ のため不成立。