指数関数と対数関数の問題

手順1：真数条件を確かめる

真数は正でなければならないので、$x-1>0$ かつ $x+5>0$ である。よって
$$x>1\cdots (1)$$

手順2：底の変換で底をそろえる

$\frac{1}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ なので、${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}=2$ である。底の変換公式より
$${\log }_{\frac{1}{4}}(x+5)=\frac{{\log }_{\frac{1}{2}}(x+5)}{{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}}=\frac{{\log }_{\frac{1}{2}}(x+5)}{2}$$
したがって、不等式の両辺を $2$ 倍すると
$$2{\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)>{\log }_{\frac{1}{2}}(x+5)$$
$(1)$ より $x-1>0$ なので、$2{\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)={\log }_{\frac{1}{2}}(x-1{)}^2$ と書ける。よって
$${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1{)}^2>{\log }_{\frac{1}{2}}(x+5)$$

手順3：真数の不等式に直す（不等号の向きに注意）

底 $\frac{1}{2}$ は $1$ より小さいので、$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ は減少関数である。したがって、対数の大小と真数の大小は逆になり
$$(x-1{)}^2<x+5$$

手順4：2次不等式を解く

展開して整理すると
$$x^2-2x+1<x+5$$
$$x^2-3x-4<0$$
$$(x+1)(x-4)<0$$
よって $-1<x<4\cdots (2)$

手順5：真数条件と合わせる

$(1)$ と $(2)$ の共通部分をとって
$$1<x<4$$

真数条件より $x-1>0$ かつ $x+5>0$ なので $x>1$。
底を $\frac{1}{2}$ にそろえる。${\log }_{\frac{1}{4}}(x+5)=\frac{{\log }_{\frac{1}{2}}(x+5)}{{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{2}}(x+5)$。
よって不等式は ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)>\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{2}}(x+5)$、すなわち $2{\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)>{\log }_{\frac{1}{2}}(x+5)$、${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1{)}^2>{\log }_{\frac{1}{2}}(x+5)$。
底 $\frac{1}{2}$ は 1 より小さいので、真数の大小は逆になり $(x-1{)}^2<x+5$。
展開して $x^2-2x+1<x+5$、$x^2-3x-4<0$、$(x-4)(x+1)<0$ より $-1<x<4$。
$x>1$ との共通部分は $1<x<4$。
検算：$x=2$ のとき左辺 ${\log }_{1/2}1=0$、右辺 ${\log }_{1/4}7<0$ なので成り立つ。$x=5$ のとき左辺 ${\log }_{1/2}4=-2$、右辺 ${\log }_{1/4}10=-\frac{{\log }_{2}10}{2}\approx -1.66$ で、$-2>-1.66$ は成り立たない。$x=4$ のとき左辺 ${\log }_{1/2}3$、右辺 $\frac{1}{2}{\log }_{1/2}9={\log }_{1/2}3$ で等しく、等号は含まれない。