対数関数のグラフと大小比較

$y = lo g_{a} x$ のグラフが $y = a^{x}$ と直線 $y = x$ に関して対称であることを使ってグラフをかき、底が $1$ より大きいか小さいかで増減を判断して、 $lo g_{2} 3$ , $lo g_{4} 5$ , $\frac{3}{2}$ のような数の大小を比べられる

前提

対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

説明

対数関数 $y = lo g_{a} x$ （ $a > 0$ , $a \neq = 1$ ）のグラフを、指数関数 $y = a^{x}$ のグラフを直線 $y = x$ で折り返してかけるようになります。さらに、底 $a$ が $1$ より大きいか小さいかでグラフが右上がりか右下がりかを判断し、それを使って $lo g_{2} 3$ や $\frac{3}{2}$ のような数の大小を比べられるようになります。電卓を使わずに対数の値の大小を決めたいときや、対数を含む不等式を考える準備として使います。

なぜそうしてよいのか

$y = lo g_{a} x$ は、対数の定義により $x = a^{y}$ と同じ意味です。つまり点 $(p, q)$ が $y = a^{x}$ のグラフ上にある（ $q = a^{p}$ ）ことと、点 $(q, p)$ が $y = lo g_{a} x$ のグラフ上にある（ $p = lo g_{a} q$ ）ことは同じです。 $x$ 座標と $y$ 座標を入れかえた点 $(p, q)$ と $(q, p)$ は直線 $y = x$ に関して対称なので、 $y = lo g_{a} x$ のグラフは $y = a^{x}$ のグラフを直線 $y = x$ で折り返したものになります。 $y = a^{x}$ は点 $(0, 1)$ , $(1, a)$ を通り、 $x$ 軸に限りなく近づくので、折り返した $y = lo g_{a} x$ は点 $(1, 0)$ , $(a, 1)$ を通り、 $y$ 軸に限りなく近づきます。また $a^{x} > 0$ なので、 $lo g_{a} x$ が考えられるのは $x > 0$ のときだけです。

増減も指数関数から決まります。 $a > 1$ のとき $y = a^{x}$ は右上がり（ $x$ が大きいほど $a^{x}$ も大きい）です。もし $0 < p < q$ なのに $lo g_{a} p ≧ lo g_{a} q$ だとすると、 $p = a^{l o g_{a} p} ≧ a^{l o g_{a} q} = q$ となって矛盾します。よって $a > 1$ なら $0 < p < q ⟺ lo g_{a} p < lo g_{a} q$ で、グラフは右上がりです。 $0 < a < 1$ のときは $y = a^{x}$ が右下がりなので、同じ理屈で $0 < p < q ⟺ lo g_{a} p > lo g_{a} q$ となり、不等号の向きが逆になります。

したがって、いくつかの数を「同じ底の対数」の形にそろえれば、真数（ $lo g$ の中身）の大小を比べるだけで、対数の大小がわかります。ふつうの数 $k$ も $k = lo g_{a} a^{k}$ と書けるので、同じ形にそろえられます。

手順

グラフをかくときは、 $y = a^{x}$ のグラフを直線 $y = x$ で折り返す。点 $(1, 0)$ , $(a, 1)$ を通り、 $x > 0$ の範囲だけにあり、 $y$ 軸に限りなく近づくように描く
比べたい数をすべて同じ底 $a$ の対数の形にそろえる。底が違うときは底の変換 $lo g_{a^{m}} M = \frac{l o g _{a} M}{m} = lo g_{a} M^{\frac{1}{m}}$ を使い、ふつうの数 $k$ は $k = lo g_{a} a^{k}$ と書きかえる
底 $a$ が $a > 1$ か $0 < a < 1$ かを確かめる（ $a > 1$ なら右上がり、 $0 < a < 1$ なら右下がり）
真数どうしの大小を比べる。根号を含むときは、正の数なので 2 乗して比べてもよい
$a > 1$ なら真数の大小と同じ順、 $0 < a < 1$ なら逆の順に対数を並べる

例題

3 つの数 $lo g_{3} 5$ , $lo g_{9} 20$ , $\frac{3}{2}$ を小さい順に並べよ。

例題の解答

【手順2：底を 3 にそろえる】底の変換により $lo g_{9} 20 = \frac{l o g _{3} 20}{l o g _{3} 9} = \frac{l o g _{3} 20}{2} = lo g_{3} 2 0^{\frac{1}{2}} = lo g_{3} 20$ 。また $\frac{3}{2} = lo g_{3} 3^{\frac{3}{2}} = lo g_{3} 27$ 。さらに $lo g_{3} 5 = lo g_{3} 25$ と書ける。
【手順3：底を確かめる】底は $3$ で $3 > 1$ なので、 $y = lo g_{3} x$ は右上がり。真数が大きいほど値も大きい。
【手順4：真数を比べる】 $20 < 25 < 27$ より $20 < 25 < 27$ 。
【手順5：並べる】底が 1 より大きいので同じ順で $lo g_{3} 20 < lo g_{3} 25 < lo g_{3} 27$ 、すなわち $lo g_{9} 20 < lo g_{3} 5 < \frac{3}{2}$ 。

答え: $(lo g_{9} 20, lo g_{3} 5, \frac{3}{2})$

よくある誤り

底が 1 より小さいのに真数と同じ向きに並べてしまう誤り。例えば $2 < 3$ から $lo g_{\frac{1}{2}} 2 < lo g_{\frac{1}{2}} 3$ とするのは誤り。正しくは $0 < \frac{1}{2} < 1$ で右下がりなので $lo g_{\frac{1}{2}} 2 > lo g_{\frac{1}{2}} 3$ （実際 $lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1$ ）
ふつうの数を対数にするとき、真数にそのまま入れてしまう誤り。例えば $\frac{3}{2} = lo g_{3} \frac{3}{2}$ とするのは誤り。正しくは $\frac{3}{2} = lo g_{3} 3^{\frac{3}{2}} = lo g_{3} 27$
底の変換で真数まで割ってしまう誤り。例えば $lo g_{9} 20 = lo g_{3} 10$ とするのは誤り。正しくは $lo g_{9} 20 = \frac{l o g _{3} 20}{2} = lo g_{3} 20$
グラフを $x ≦ 0$ の部分にまで描いたり、 $y$ 軸と交わるように描いたりする誤り。正しくは $a^{y} > 0$ より定義域は $x > 0$ で、グラフは $y$ 軸に限りなく近づくが交わらず、 $x$ 軸とは点 $(1, 0)$ で交わる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$x$ は実数とする。不等式 $lo g_{2} (3^{x} - 1) ≦ lo g_{3} (2^{x} + 1)$ を満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

この技能の次に学べること

対数方程式・対数不等式（数学II 指数関数と対数関数）