指数関数と対数関数の問題

方針 3つの数をすべて底が $3$ の対数 ${\log }_{3}M$ の形にそろえる。そのうえで、真数 $M$ の大小を比べる。

手順1：底を $3$ にそろえる

底の変換公式を使うと、${\log }_{3}9=2$ だから
$${\log }_{9}20=\frac{{\log }_{3}20}{{\log }_{3}9}=\frac{1}{2}{\log }_{3}20={\log }_{3}20^{\frac{1}{2}}={\log }_3\sqrt{20}$$
となる。

また、${\log }_{3}3=1$ だから
$$\frac{3}{2}=\frac{3}{2}{\log }_{3}3={\log }_3{3}^{\frac{3}{2}}={\log }_3\sqrt{27}$$
となる。

残りの数は ${\log }_{3}5={\log }_3\sqrt{25}$ と書ける。

手順2：真数の大小を比べる

$20<25<27$ であるから
$$\sqrt{20}<\sqrt{25}<\sqrt{27}$$
が成り立つ。

手順3：底と $1$ の大小から増減を判断する

底 $3$ は $1$ より大きい。よって $y={\log }_{3}x$ は増加関数である。このグラフは $y=3^x$ のグラフと直線 $y=x$ に関して対称で、右上がりになっている。

したがって、真数が大きいほど値も大きく
$${\log }_3\sqrt{20}<{\log }_3\sqrt{25}<{\log }_3\sqrt{27}$$
が成り立つ。すなわち
$${\log }_{9}20<{\log }_{3}5<\frac{3}{2}$$
である。

よって、最も大きい数は $\frac{3}{2}$ である。

3 数をそれぞれ $\frac{3}{2}$ と比べる。

(1) ${\log }_{3}5$ と $\frac{3}{2}$ の比較:$\frac{3}{2}={\log }_3{3}^{3/2}={\log }_3\sqrt{27}$。$5=\sqrt{25}<\sqrt{27}$ なので、底 3 は 1 より大きく ${\log }_{3}5<\frac{3}{2}$。

(2) ${\log }_{9}20$ と $\frac{3}{2}$ の比較:$\frac{3}{2}={\log }_9{9}^{3/2}={\log }_{9}27$。$20<27$ なので、底 9 は 1 より大きく ${\log }_{9}20<\frac{3}{2}$。

以上より、3 数のうち $\frac{3}{2}$ が最も大きい。

検算:${\log }_{3}5\approx 1.465$、${\log }_{9}20=\frac{{\log }_{3}20}{2}\approx \frac{2.727}{2}\approx 1.363$、$\frac{3}{2}=1.5$。確かに $\frac{3}{2}$ が最大である。