指数関数と対数関数の問題

手順1：真数条件を確かめる

真数は正でなければならないので
$$x+1>0\text{かつ}x+7>0$$
よって $x>-1$ かつ $x>-7$ であり、まとめると $x>-1$ $(1)$ である。

手順2：底の変換で底を $\frac{1}{2}$ にそろえる

$\frac{1}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ なので、底の変換公式より
$${\log }_{\frac{1}{4}}(x+7)=\frac{{\log }_{\frac{1}{2}}(x+7)}{{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}}=\frac{{\log }_{\frac{1}{2}}(x+7)}{2}$$
したがって、不等式は
$${\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)<\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{2}}(x+7)$$
両辺を $2$ 倍して
$$2{\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)<{\log }_{\frac{1}{2}}(x+7)$$
左辺は $(1)$ より $x+1>0$ なので、対数の性質を使って ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+1{)}^2$ と書ける。よって
$${\log }_{\frac{1}{2}}(x+1{)}^2<{\log }_{\frac{1}{2}}(x+7)$$

手順3：真数の不等式に直す（不等号の向きに注意）

底 $\frac{1}{2}$ は $1$ より小さいので、$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ は減少関数である。したがって、対数の大小と真数の大小は逆になり、不等号の向きが変わる。
$$(x+1{)}^2>x+7$$
展開して整理すると
$$x^2+2x+1>x+7$$
$$x^2+x-6>0$$
$$(x+3)(x-2)>0$$
よって $x<-3$ または $x>2$ $(2)$ である。

手順4：真数条件と合わせる

$(1)$ と $(2)$ の共通部分を求めると
$$x>2$$

（確認：$x=3$ のとき、左辺は ${\log }_{\frac{1}{2}}4=-2$、右辺は ${\log }_{\frac{1}{4}}10>{\log }_{\frac{1}{4}}16=-2$ となり、不等式は成り立つ。）

答え：$x>2$

真数条件より $x+1>0$ かつ $x+7>0$ なので $x>-1$。

底を $\frac{1}{2}$ にそろえる。${\log }_{\frac{1}{4}}(x+7)=\frac{{\log }_{\frac{1}{2}}(x+7)}{{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{2}}(x+7)={\log }_{\frac{1}{2}}\sqrt{x+7}$。

よって ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)<{\log }_{\frac{1}{2}}\sqrt{x+7}$。底 $\frac{1}{2}$ は 1 より小さいので、真数の大小は逆になり $x+1>\sqrt{x+7}$。

$x>-1$ より左辺は正なので、両辺を 2 乗しても同値で、$(x+1{)}^2>x+7$。
展開して $x^2+2x+1>x+7$、$x^2+x-6>0$、$(x+3)(x-2)>0$ より $x<-3$ または $x>2$。

$x>-1$ との共通部分は $x>2$。

検算：$x=3$ のとき、左辺は ${\log }_{\frac{1}{2}}4=-2$、右辺は ${\log }_{\frac{1}{4}}10=-\frac{{\log }_{2}10}{2}\approx -1.66$。$-2<-1.66$ で成り立つ。
$x=2$ のとき、左辺は ${\log }_{\frac{1}{2}}3\approx -1.585$、右辺は ${\log }_{\frac{1}{4}}9=-{\log }_{2}3$ で同じ値になり、等号なので除く。

答え：$x>2$