指数関数と対数関数の問題

真数条件

真数は正でなければならないので $x-1>0$ かつ $x+5>0$ である。よって
$$x>1(1)$$

底を $3$ にそろえる

底の変換公式より
$${\log }_{\frac{1}{3}}(x-1)=\frac{{\log }_3(x-1)}{{\log }_3\frac{1}{3}}=-{\log }_3(x-1),{\log }_9(x+5)=\frac{{\log }_3(x+5)}{{\log }_{3}9}=\frac{1}{2}{\log }_3(x+5)$$
である。これを代入すると、不等式は
$$-{\log }_3(x-1)+\frac{1}{2}{\log }_3(x+5)>-\frac{1}{2}$$
となる。両辺を $2$ 倍して移項すると
$$2{\log }_3(x-1)<{\log }_3(x+5)+1$$
となる。

$(1)$ より $x-1>0$ なので $2{\log }_3(x-1)={\log }_3(x-1{)}^2$ である。また $1={\log }_{3}3$ より ${\log }_3(x+5)+1={\log }_{3}3(x+5)$ である。したがって
$${\log }_3(x-1{)}^2<{\log }_{3}3(x+5)$$

真数の比較

底 $3$ は $1$ より大きいので、真数の大小関係は変わらない。よって
$$(x-1{)}^2<3(x+5)$$
$$x^2-2x+1<3x+15$$
$$x^2-5x-14<0$$
$$(x-7)(x+2)<0$$
$$-2<x<7(2)$$

まとめ

$(1)$ と $(2)$ の共通範囲を求めて
$$1<x<7$$

(確認: $x=7$ のとき左辺は $-{\log }_{3}6+\frac{1}{2}{\log }_{3}12={\log }_3\frac{2\sqrt{3}}{6}={\log }_3\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{2}$ となって等号が成り立つので、$x=7$ は含まれない。)

真数条件より $x-1>0$ かつ $x+5>0$ なので $x>1$。
底を 3 にそろえる。${\log }_{\frac{1}{3}}(x-1)=-{\log }_3(x-1)$、${\log }_9(x+5)=\frac{1}{2}{\log }_3(x+5)$ である。
不等式は $-{\log }_3(x-1)+\frac{1}{2}{\log }_3(x+5)>-\frac{1}{2}$ となる。両辺を 2 倍して ${\log }_3\frac{x+5}{(x-1{)}^2}>-1={\log }_3\frac{1}{3}$。
底 3 は 1 より大きいので $\frac{x+5}{(x-1{)}^2}>\frac{1}{3}$。$x>1$ では $(x-1{)}^2>0$ だから $3(x+5)>(x-1{)}^2$。
整理すると $x^2-5x-14<0$、すなわち $(x-7)(x+2)<0$ なので $-2<x<7$。
$x>1$ との共通部分をとって $1<x<7$。
検算: $x=2$ では左辺は $0+\frac{1}{2}{\log }_{3}7\approx 0.88>-\frac{1}{2}$ で成立する。$x=7$ では左辺は ${\log }_3\frac{\sqrt{12}}{6}=-\frac{1}{2}$ で等号となり、不等式を満たさない。