対数方程式・対数不等式

真数条件を確かめ、底の変換で底をそろえて $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) \geq lo g_{\frac{1}{4}} (x + 2) - 1$ のような方程式・不等式を真数の方程式・不等式に直して解ける（底が $1$ より小さいときの不等号の向きに注意できる）

前提

対数関数のグラフと大小比較（数学II 指数関数と対数関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）

この技能までの道筋（24 技能）

算数中学高校大学大学院

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2 次不等式（数学I 2次関数）

説明

$lo g$ の中に未知数 $x$ を含む方程式や不等式を解けるようになります。方針は、底をそろえて両辺を「 $lo g_{a} (式)$ 」1 つずつの形にまとめ、 $lo g$ を外して真数どうしの方程式・不等式（1 次や 2 次）に直すことです。そのときに大事なのは 2 点です。 $lo g$ が意味をもつための条件（真数条件）を確かめることと、底が $1$ より小さいときは不等号の向きが逆になることです。

なぜそうしてよいのか

まず、 $lo g_{a} M$ は $M > 0$ のときしか定義されません。そこで最初に、もとの式に出てくる真数がすべて正になる $x$ の範囲（真数条件）を求めておきます。途中で $lo g_{a} M + lo g_{a} N = lo g_{a} M N$ や $2 lo g_{a} M = lo g_{a} M^{2}$ のように変形すると、真数が $M N$ や $M^{2}$ に変わります。すると、もとの式では許されない $x$ （たとえば $M < 0$ となる $x$ ）でも変形後の式は意味をもってしまいます。そのため、条件は必ず「もとの式」で確かめます。

次に底をそろえます。対数の性質から $lo g_{b} M = \frac{lo g _{a} M}{lo g _{a} b}$ （底の変換）が成り立ちます。たとえば $lo g_{\frac{1}{4}} M = \frac{lo g _{\frac{1}{2}} M}{lo g _{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}} = \frac{lo g _{\frac{1}{2}} M}{2}$ です。定数 $c$ も、 $c = lo g_{a} a^{c}$ と書けば同じ底の対数になります。

最後に $lo g$ を外します。 $y = lo g_{a} x$ のグラフを思い出しましょう。 $a > 1$ なら増加、 $0 < a < 1$ なら減少で、どちらの場合も異なる $x$ には異なる $y$ が対応します。よって $M > 0, N > 0$ のとき、次のことが言えます。 $lo g_{a} M = lo g_{a} N ⟺ M = N$ 。 $a > 1$ なら $lo g_{a} M < lo g_{a} N ⟺ M < N$ （向きはそのまま）。 $0 < a < 1$ なら $lo g_{a} M < lo g_{a} N ⟺ M > N$ （向きが逆）。

手順

真数条件を求める：もとの式のすべての真数について「真数 $> 0$ 」を連立し、 $x$ の範囲を出す
底の変換で底をそろえる： $lo g_{b} M = \frac{lo g _{a} M}{lo g _{a} b}$ 。分母を払いたいときは両辺に正の数を掛ける（正の数なので不等号の向きは変わらない）
各辺を $lo g_{a} (式)$ の 1 つにまとめる： $lo g_{a} M + lo g_{a} N = lo g_{a} M N$ 、 $k lo g_{a} M = lo g_{a} M^{k}$ を使う。定数は $c = lo g_{a} a^{c}$ に直す
$lo g$ を外して真数の関係に直す：方程式なら $M = N$ 。不等式なら、 $a > 1$ のとき向きはそのまま、 $0 < a < 1$ のとき向きを逆にする
得られた方程式・不等式を解き、手順 1 の真数条件との共通部分（両方を満たす範囲）を答えにする

例題

不等式 $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) > lo g_{\frac{1}{4}} (x + 5)$ を解け。

例題の解答

【手順 1】真数条件は $x - 1 > 0$ かつ $x + 5 > 0$ です。よって $x > 1$ です。

【手順 2】底を $\frac{1}{2}$ にそろえます。 $lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = 2$ なので、 $lo g_{\frac{1}{4}} (x + 5) = \frac{lo g _{\frac{1}{2}} ( x + 5 )}{2}$ です。不等式は $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) > \frac{1}{2} lo g_{\frac{1}{2}} (x + 5)$ となります。両辺に正の数 $2$ を掛けると、 $2 lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) > lo g_{\frac{1}{2}} (x + 5)$ です。

【手順 3】 $x - 1 > 0$ なので、 $2 lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1) = lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1)^{2}$ です。よって $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1)^{2} > lo g_{\frac{1}{2}} (x + 5)$ となります。

【手順 4】底 $\frac{1}{2}$ は $1$ より小さいので、不等号の向きを逆にします。 $(x - 1)^{2} < x + 5$ です。

【手順 5】展開して整理すると $x^{2} - 3 x - 4 < 0$ 、つまり $(x + 1) (x - 4) < 0$ です。よって $- 1 < x < 4$ です。これと真数条件 $x > 1$ の共通部分をとって、 $1 < x < 4$ が答えです。

答え: $1 < x < 4$

よくある誤り

底が $1$ より小さいのに不等号の向きをそのままにする誤り。例題で $(x - 1)^{2} > x + 5$ としてしまうと、 $x < - 1, 4 < x$ という逆の範囲が出ます。正しくは、底 $\frac{1}{2}$ では向きを逆にして $(x - 1)^{2} < x + 5$ とします。
真数条件を忘れて、真数の不等式の解をそのまま答えにしてしまう誤り。例題で $- 1 < x < 4$ と答えると、 $x = 0$ のように $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1)$ が定義されない値が含まれます。正しくは、 $x > 1$ との共通部分をとって $1 < x < 4$ です。
底の変換で倍率を逆にしてしまう誤り。 $lo g_{\frac{1}{4}} (x + 5) = 2 lo g_{\frac{1}{2}} (x + 5)$ とするのは誤りです。正しくは $lo g_{\frac{1}{4}} (x + 5) = \frac{lo g _{\frac{1}{2}} ( x + 5 )}{lo g _{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} lo g_{\frac{1}{2}} (x + 5)$ です。
変形したあとの式で真数条件を調べてしまう誤り。 $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1)^{2}$ の真数条件を $(x - 1)^{2} > 0$ 、つまり $x \neq = 1$ とすると、 $x < 1$ の範囲まで入ってしまいます。正しくは、もとの式の $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 1)$ から $x - 1 > 0$ 、つまり $x > 1$ とします。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

対数の置き換えと最大・最小（数学II 指数関数と対数関数）