指数関数と対数関数の問題

底を $2$ にそろえる

$x>0$ なので ${\log }_4{x}^2=2{\log }_{4}x$ である。さらに底の変換公式により
$${\log }_4{x}^2=2\cdot \frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}4}=2\cdot \frac{{\log }_{2}x}{2}={\log }_{2}x$$
となる。

$x>0,x\ne 1$ より $\sqrt{x}>0,\sqrt{x}\ne 1$ なので、$\sqrt{x}$ は対数の底として使える。${\log }_2\sqrt{x}=\frac{1}{2}{\log }_{2}x$ であるから
$${\log }_{\sqrt{x}}8=\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_2\sqrt{x}}=\frac{3}{\frac{1}{2}{\log }_{2}x}=\frac{6}{{\log }_{2}x}$$
となる。

$t$ の不等式に直す

$t={\log }_{2}x$ とおく。$x\ne 1$ より $t\ne 0$ であり、不等式は
$$t+\frac{6}{t}<5(1)$$
となる。分母に $t$ があるので、$t$ の符号で場合分けして両辺に $t$ を掛ける。

(i) $t>0$ のとき。$(1)$ の両辺に $t$ を掛けても不等号の向きは変わらないので
$$t^2-5t+6<0⟺(t-2)(t-3)<0⟺2<t<3$$
である。これは $t>0$ を満たす。

(ii) $t<0$ のとき。$(1)$ の両辺に $t$ を掛けると不等号の向きが変わるので
$$t^2-5t+6>0⟺(t-2)(t-3)>0$$
である。$t<0$ のとき $t-2<0,t-3<0$ より積は正なので、これは常に成り立つ。よって $t<0$ のすべての $t$ が解である。

以上から、$(1)$ の解は $t<0$ または $2<t<3$ である。

$x$ の範囲に戻す

底 $2$ は $1$ より大きいので、$y={\log }_{2}x$ は増加関数である。
- ${\log }_{2}x<0={\log }_{2}1$ より $0<x<1$
- ${\log }_{2}4=2<{\log }_{2}x<3={\log }_{2}8$ より $4<x<8$

これらはどちらも $x>0,x\ne 1$ を満たす。

したがって、求める範囲は
$$0<x<1,4<x<8$$
である。

$x>0,x\ne 1$ より、$t={\log }_{2}x$ とおくと $t\ne 0$。

${\log }_4{x}^2=\frac{2{\log }_{2}x}{{\log }_{2}4}=t$。

${\log }_{\sqrt{x}}8=\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_2\sqrt{x}}=\frac{3}{t/2}=\frac{6}{t}$。

よって不等式は $t+\frac{6}{t}<5$ となる。

移項して整理すると $\frac{t^2-5t+6}{t}<0$、すなわち $\frac{(t-2)(t-3)}{t}<0$。

分子と分母の符号を調べると、$t<0$ または $2<t<3$。

$t={\log }_{2}x$ なので、$0<x<1$ または $4<x<8$。

検算:
- $x=1/2$ のとき $t=-1$ で、$-1-6=-7<5$ となり成り立つ。
- $x=6$ のとき $t\approx 2.585$ で、$2.585+2.32\approx 4.905<5$ となり成り立つ。
- $x=2$ のとき $t=1$ で、$1+6=7\nless 5$ となり成り立たない。
- $x=16$ のとき $t=4$ で、$4+1.5=5.5\nless 5$ となり成り立たない。