指数関数と対数関数の問題

$x>0$ なので、不等式の両辺はともに正です。底 $2$ は $1$ より大きいので、両辺の $2$ を底とする対数をとっても不等号の向きは変わりません。
$${\log }_2\left(x^{{\log }_{4}x}\right)\geqq {\log }_2(16x)$$

$t={\log }_{2}x$ とおきます。$x$ が正の実数全体を動くとき、$t$ は実数全体を動きます。

底の変換公式より
$${\log }_{4}x=\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}4}=\frac{t}{2}$$
です。したがって左辺は
$${\log }_2\left(x^{{\log }_{4}x}\right)={\log }_{4}x\cdot {\log }_{2}x=\frac{t}{2}\cdot t=\frac{t^2}{2}$$
となります。右辺は
$${\log }_2(16x)={\log }_{2}16+{\log }_{2}x=4+t$$
です。

よって、もとの不等式は次の不等式と同値です。
$$\frac{t^2}{2}\geqq t+4$$
両辺を $2$ 倍して整理すると
$$t^2-2t-8\geqq 0$$
$$(t-4)(t+2)\geqq 0$$
となるので、
$$t\leqq -2\text{または}t\geqq 4$$
です。

$t={\log }_{2}x$ に戻します。底 $2>1$ なので、${\log }_{2}x$ は $x$ について増加します。
- ${\log }_{2}x\leqq -2$ のとき、$0<x\leqq 2^{-2}=\frac{1}{4}$
- ${\log }_{2}x\geqq 4$ のとき、$x\geqq 2^4=16$

(確認) $x=16$ のとき、左辺は $16^{{\log }_{4}16}=16^2=256$、右辺は $16\cdot 16=256$ で等号が成り立ちます。$x=\frac{1}{4}$ のとき、左辺は ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{-1}=4$、右辺は $16\cdot \frac{1}{4}=4$ で、こちらも等号が成り立ちます。

以上より、求める範囲は
$$0<x\leqq \frac{1}{4},16\leqq x$$
です。

$x>0$ なので、両辺について底 $4$ の対数をとる（底が $1$ より大きいので不等号の向きは変わらない）。

$t={\log }_{4}x$ とおくと、左辺の対数は ${\log }_4{x}^{{\log }_{4}x}=t^2$、右辺の対数は ${\log }_{4}16x=2+t$ となる。

よって $t^2\geqq t+2$、すなわち $t^2-t-2\geqq 0$、$(t-2)(t+1)\geqq 0$ より $t\leqq -1$ または $t\geqq 2$。

${\log }_{4}x\leqq -1$ より $0<x\leqq \frac{1}{4}$。
${\log }_{4}x\geqq 2$ より $x\geqq 16$。

検算：$x=16$ のとき、左辺は $16^2=256$、右辺は $16\cdot 16=256$ で等号成立。$x=\frac{1}{4}$ のとき、左辺は $(1/4{)}^{-1}=4$、右辺は $16\cdot \frac{1}{4}=4$ で等号成立。$x=1$ のとき、左辺は $1$、右辺は $16$ で不成立（範囲外と一致）。

答え：$0<x\leqq \frac{1}{4},x\geqq 16$