指数関数と対数関数の問題

真数条件・底の条件

真数条件から $x+1>0$ である。底の条件から $x+1>0$ かつ $x+1\ne 1$ である。よって
$$x>-1,x\ne 0$$
が必要である。

底を $2$ にそろえる

$t={\log }_2(x+1)$ とおく。$x+1\ne 1$ より $t\ne 0$ である。

$${\log }_{\sqrt{2}}(x+1)=\frac{{\log }_2(x+1)}{{\log }_2\sqrt{2}}=\frac{t}{\frac{1}{2}}=2t,$$
$${\log }_{x+1}16=\frac{{\log }_{2}16}{{\log }_2(x+1)}=\frac{4}{t}$$
となる。したがって、与えられた不等式は
$$2t-\frac{4}{t}\le 2\cdots (1)$$
と書ける。

$t$ の符号で場合分けする

(i) $t>0$ のとき

$(1)$ の両辺に $t(>0)$ を掛けると $2t^2-4\le 2t$ となる。整理すると
$$t^2-t-2\le 0,(t-2)(t+1)\le 0$$
より $-1\le t\le 2$ である。$t>0$ と合わせて $0<t\le 2$ となる。

(ii) $t<0$ のとき

$(1)$ の両辺に $t(<0)$ を掛けると、不等号の向きが変わって $2t^2-4\ge 2t$ となる。整理すると
$$(t-2)(t+1)\ge 0$$
より $t\le -1$ または $t\ge 2$ である。$t<0$ と合わせて $t\le -1$ となる。

$x$ に戻す

底 $2$ は $1$ より大きいので、${\log }_2$ は増加関数である。

• $0<t\le 2$ のとき、$1<x+1\le 4$ より $0<x\le 3$ である。
• $t\le -1$ のとき、$0<x+1\le \frac{1}{2}$ より $-1<x\le -\frac{1}{2}$ である。

どちらも条件 $x>-1,x\ne 0$ を満たしている。

(確認: $x=3$ のとき $4-2=2$、$x=-\frac{1}{2}$ のとき $-2-(-4)=2$ となり、どちらも等号が成り立つ。)

よって、求める範囲は
$$-1<x\le -\frac{1}{2},0<x\le 3$$
である。

底と真数の条件から $x+1>0$ かつ $x+1\ne 1$、すなわち $x>-1$ かつ $x\ne 0$。

$t={\log }_2(x+1)$ とおくと $t\ne 0$ である。
${\log }_{\sqrt{2}}(x+1)=2t$、${\log }_{x+1}16=\frac{4}{t}$ なので、不等式は
$$2t-\frac{4}{t}\le 2⟺t-\frac{2}{t}-1\le 0⟺\frac{(t-2)(t+1)}{t}\le 0.$$
これを解くと $t\le -1$ または $0<t\le 2$。

• $t\le -1$ のとき $0<x+1\le \frac{1}{2}$ より $-1<x\le -\frac{1}{2}$。
• $0<t\le 2$ のとき $1<x+1\le 4$ より $0<x\le 3$。

検算：$x=-\frac{1}{2}$ のとき $t=-1$ で $2(-1)-4/(-1)=2\le 2$ で成立。$x=3$ のとき $t=2$ で $4-2=2\le 2$ で成立。$x=1$ のとき $t=1$ で $2-4=-2\le 2$ で成立。$x=-\frac{3}{4}$ のとき $t=-2$ で $-4+2=-2\le 2$ で成立。$x=-0.25$ のとき $t={\log }_{2}0.75\approx -0.415$ で $2t-4/t\approx -0.83+9.64>2$ となり不成立。

よって $-1<x\le -\frac{1}{2}$、$0<x\le 3$。