指数関数と対数関数の問題

真数条件　真数は正なので
$$x-1>0,5-x>0,x-a>0$$
すなわち $1<x<5$ かつ $x>a$ である。

方程式の変形　この条件のもとでは $x-a>0$ なので $2{\log }_2(x-a)={\log }_2(x-a{)}^2$ であり、方程式は
$${\log }_2\{(x-1)(5-x)\}={\log }_2(x-a{)}^2⟺(x-1)(5-x)=(x-a{)}^2$$
と同値である。展開して整理すると
$$-x^2+6x-5=x^2-2ax+a^2$$
$$2x^2-2(a+3)x+a^2+5=0$$
そこで $f(x)=2x^2-2(a+3)x+a^2+5$ とおく。求める条件は、

$f(x)=0$ が、$x>a$ かつ $1<x<5$ を満たす異なる $2$ つの実数解をもつこと

である。つまり、$f(x)=0$ が異なる $2$ つの実数解をもち、その $2$ つの解がともに $x>a$、$x>1$、$x<5$ を満たせばよい。放物線 $y=f(x)$ は下に凸で、軸は $x=\frac{a+3}{2}$ である。

(i) 異なる 2 つの実数解をもつ　判別式を $D$ とすると
$$\frac{D}{4}=(a+3{)}^2-2(a^2+5)=-a^2+6a-1>0$$
$$a^2-6a+1<0⟺3-2\sqrt{2}<a<3+2\sqrt{2}$$

(ii) 2 つの解がともに $a$ より大きい　条件は、軸が $a$ より右にあり、かつ $f(a)>0$ であること。
- 軸：$\frac{a+3}{2}>a⟺a<3$
- $f(a)=2a^2-2(a+3)a+a^2+5=a^2-6a+5=(a-1)(a-5)>0⟺a<1,5<a$

よって $a<1$。

(iii) 2 つの解がともに $1$ より大きい
- 軸：$\frac{a+3}{2}>1⟺a>-1$
- $f(1)=2-2(a+3)+a^2+5=a^2-2a+1=(a-1{)}^2>0⟺a\ne 1$

(iv) 2 つの解がともに $5$ より小さい
- 軸：$\frac{a+3}{2}<5⟺a<7$
- $f(5)=50-10(a+3)+a^2+5=a^2-10a+25=(a-5{)}^2>0⟺a\ne 5$

まとめ　(i)〜(iv) をすべて満たす $a$ の範囲を求める。$3-2\sqrt{2}=0.17\cdots$ なので、(i) と (ii) から $3-2\sqrt{2}<a<1$ であり、この範囲は (iii) の $a>-1,a\ne 1$ と (iv) の $a<7,a\ne 5$ も満たす。したがって
$$3-2\sqrt{2}<a<1$$

（注意）$x>a$ という真数条件を忘れて $1<x<5$ だけで考えると、$1<a<5$ のときに $x<a$ となる解まで数えてしまい、誤った答えになる。

真数条件から $x-1>0$, $5-x>0$, $x-a>0$、すなわち $1<x<5$ かつ $x>a$。

このとき与式は ${\log }_2(x-1)(5-x)={\log }_2(x-a{)}^2$ と変形でき、これは $(x-1)(5-x)=(x-a{)}^2$ と同値。整理すると
$$2x^2-(2a+6)x+a^2+5=0\cdots (\ast )$$

したがって、$(\ast )$ が真数条件 $\max (1,a)<x<5$ を満たす異なる $2$ つの実数解をもつ $a$ の範囲を求めればよい。

【別解の方針（グラフ）】$x>a$ のとき与式は $x-a=\sqrt{(x-1)(5-x)}$、すなわち $y=x-a$ と $y=\sqrt{4-(x-3{)}^2}$（中心 $(3,0)$、半径 $2$ の円の上半分。ただし端点 $(1,0)$, $(5,0)$ は除く）の共有点の個数を考える。

直線 $y=x-a$ が円 $(x-3{)}^2+y^2=4$ に接するのは、中心 $(3,0)$ と直線 $x-y-a=0$ の距離が $2$ のとき、$\frac{|3-a|}{\sqrt{2}}=2$ より $a=3\pm 2\sqrt{2}$。上半分で接するのは接点が $\left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$ となる $a=3-2\sqrt{2}$ のとき（$a=3+2\sqrt{2}$ は下半分で接する）。

$a$ を $3-2\sqrt{2}$ から増やすと、直線は右下へ平行移動し上半分と $2$ 点で交わる。$a=1$ のとき直線は $(1,0)$ を通り、共有点は $(1,0)$ と $(3,2)$ だが $(1,0)$ は除外なので $1$ 個。$a>1$ では交点のうち左側は $x<a$ か $y<0$ 側に出るため、上半分での共有点は $1$ 個以下。

$(\ast )$ での確認: 判別式 $D/4=(a+3{)}^2-2(a^2+5)=-a^2+6a-1>0$ より $3-2\sqrt{2}<a<3+2\sqrt{2}$。$f(x)=2x^2-(2a+6)x+a^2+5$ とおくと、軸は $x=\frac{a+3}{2}$。$3-2\sqrt{2}<a<1$ では $f(1)=a^2-2a+1=(a-1{)}^2>0$, $f(5)=a^2-10a+25=(a-5{)}^2>0$、軸 $\frac{a+3}{2}$ は $1<\frac{a+3}{2}<5$ を満たす（$0.17<a<1$ のとき $1.58<\frac{a+3}{2}<2$）ので、$(\ast )$ は区間 $(1,5)$ に異なる $2$ 解をもつ。さらに $x>a$ も必要だが、$f(a)=2a^2-(2a+6)a+a^2+5=a^2-6a+5=(a-1)(a-5)>0$（$a<1$）かつ軸 $\frac{a+3}{2}>a$（$a<3$）より、$a$ は $2$ 解の左側にあり $x>a$ を満たす。

$a=1$ のときは $(\ast )$ が $2x^2-8x+6=0$ で $x=1,3$、$x=1$ は真数条件を満たさないので不適。$a>1$ では $f(1)>0$ だが軸の位置と $f(a)=(a-1)(a-5)$ の符号から $1<a<5$ で $f(a)<0$、$a$ は $2$ 解の間にあり $x>a$ を満たすのは大きい方の $1$ 解のみ。$a\geqq 5$ では解なし。$a\leqq 3-2\sqrt{2}$ では異なる $2$ 解をもたない。

検算: $a=\frac{1}{2}$ のとき $2x^2-7x+\frac{21}{4}=0$、$x=\frac{7\pm \sqrt{7}}{4}\approx 2.411,1.089$。ともに $1<x<5$, $x>\frac{1}{2}$ を満たし、$2$ 解をもつ。$a=2$ のときは $x=\frac{5\pm \sqrt{7}}{2}\approx 3.82,1.18$ で $x>2$ を満たすのは $1$ つだけ。

よって $3-2\sqrt{2}<a<1$。