指数関数と対数関数の問題

手順1：置き換える

$t=3^x$ とおく。$9^x=(3^2{)}^x=(3^x{)}^2=t^2$ なので、方程式は
$$t^2-2at+3a-1=0(1)$$
となる。

手順2：$x$ と $t$ の対応を調べる

$y=3^x$ は底が $1$ より大きいので増加関数であり、$t$ の値 $1$ つに対して $x$ がちょうど $1$ つ決まる。さらに
$$x<0⟺0<3^x<3^0=1⟺0<t<1$$
である。よって、もとの方程式が異なる $2$ つの負の解をもつ条件は、$t$ の $2$ 次方程式 $(1)$ が $0<t<1$ の範囲に異なる $2$ つの実数解をもつことである。

手順3：2次方程式の解の配置の条件を書く

$f(t)=t^2-2at+3a-1$ とおく。$f(t)=(t-a{)}^2-a^2+3a-1$ より、$y=f(t)$ のグラフは下に凸で軸は $t=a$ である。$0<t<1$ に異なる $2$ つの解をもつ条件は、次の $4$ つがすべて成り立つことである。

(i) 判別式 $D>0$：$\frac{D}{4}=a^2-(3a-1)=a^2-3a+1>0$。$a^2-3a+1=0$ の解は $a=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ なので
$$a<\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2}<a$$

(ii) 軸が $0<t<1$ にある：$0<a<1$

(iii) $f(0)>0$：$3a-1>0$ より $a>\frac{1}{3}$

(iv) $f(1)>0$：$1-2a+3a-1=a>0$ より $a>0$

手順4：共通範囲を求める

$\frac{3+\sqrt{5}}{2}>1$ なので (i) と (ii) の共通部分は $0<a<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。ここで $\sqrt{5}\approx 2.236$ より $\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0.382$ であり、$\frac{1}{3}\approx 0.333$ より大きい。これと (iii)、(iv) を合わせて
$$\frac{1}{3}<a<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

$t=3^x$ とおくと、$x<0⟺0<t<1$ であり、$t$ と $x$ は 1 対 1 に対応する。したがって、方程式 $f(t)=t^2-2at+3a-1=0$ が $0<t<1$ に異なる 2 つの実数解をもつ条件を求めればよい。

条件は次の 4 つである。
1. 判別式 $D/4=a^2-(3a-1)=a^2-3a+1>0$ より、$a<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ または $a>\frac{3+\sqrt{5}}{2}$。
2. 軸 $t=a$ について $0<a<1$。
3. $f(0)=3a-1>0$ より $a>\frac{1}{3}$。
4. $f(1)=1-2a+3a-1=a>0$。

$\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0.382$、$\frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2.618$ である。
条件 2〜4 から $\frac{1}{3}<a<1$ となる。これに条件 1 を合わせると、$a>\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ は $a<1$ に反するので除かれ、$\frac{1}{3}<a<\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ が残る。

検算: $a=0.35$ のとき $D/4=0.1225-1.05+1=0.0725>0$、$f(0)=0.05>0$、$f(1)=0.35>0$、軸は $0.35$ で $0<0.35<1$ なので、条件を満たす。