指数関数と対数関数の問題

手順1：置き換える

$t=3^x$ とおくと $t>0$ であり、$9^x=(3^2{)}^x=(3^x{)}^2=t^2$ である。方程式は
$$t^2-2at+a+3=0(1)$$
となる。

手順2：$x$ と $t$ の対応を調べる

$t=3^x$ は増加関数で、$x$ と $t(t>0)$ は $1$ 対 $1$ に対応する。$3^0=1$ なので
- $x>0⟺t>1$
- $x<0⟺0<t<1$

したがって、もとの方程式が正の解と負の解を $1$ つずつもつことは、$(1)$ が $0<t<1$ の範囲と $t>1$ の範囲に $1$ つずつ解をもつことと同じである。

手順3：解の配置の条件にする

$f(t)=t^2-2at+a+3$ とおく。$y=f(t)$ のグラフは下に凸の放物線であるから、$(1)$ の解が $0<t<1$ と $t>1$ に $1$ つずつあるための条件は
$$f(0)>0\text{かつ}f(1)<0$$
である（$f(1)<0$ なら $t=1$ をはさんで $2$ つの異なる解があり、さらに $f(0)>0$ なら小さい方の解は $0$ と $1$ の間にある）。

手順4：計算する

$f(0)=a+3>0$ より $a>-3$。

$f(1)=1-2a+a+3=4-a<0$ より $a>4$。

共通範囲をとって $a>4$。

（確認：$a=5$ のとき $(1)$ は $t^2-10t+8=0$、$t=5\pm \sqrt{17}$ で、$5-\sqrt{17}\approx 0.88$、$5+\sqrt{17}\approx 9.12$ となり、確かに $0<t<1$ と $t>1$ に $1$ つずつある。）

答え：$a>4$

$t=3^x$ とおくと $t>0$ で、方程式は $f(t)=t^2-2at+a+3=0$ となる。$x\mapsto 3^x$ は単調増加で、$x>0⟺t>1$、$x<0⟺0<t<1$ である。したがって、$f(t)=0$ が $0<t<1$ の解と $t>1$ の解を $1$ つずつもてばよい（$t$ の解は高々 2 個なので、これで $x$ の解もちょうど正と負が $1$ つずつになる）。

$f(0)=a+3$、$f(1)=4-a$ である。

必要性：下に凸の放物線 $f$ が $t=1$ をはさんで $0<t<1$ に解、$t>1$ に解をもつので $f(1)<0$、すなわち $a>4$。

十分性：$a>4$ なら $f(0)=a+3>0$ かつ $f(1)<0$ である。中間値の定理より $0<t<1$ に解が $1$ つあり、$f(1)<0$ で下に凸なのでもう $1$ つの解は $t>1$ にある。よって十分である。

$a=4$ のとき $f(1)=0$ で $t=1$（$x=0$）が解となり、正の解も負の解も条件を満たさなくなるので不適。

検算：$a=5$ のとき $t^2-10t+8=0$ より $t=5\pm \sqrt{17}\approx 0.877,9.12$ となり、$0<t<1$ と $t>1$ に $1$ つずつある。

よって $a>4$。