置き換えた指数方程式の解の個数・配置

$t = 2^{x}$ で $x > 0 ⟺ t > 1$ のように $x$ と $t$ の対応を使い、 $4^{x} - a \cdot 2^{x + 1} + a + 6 = 0$ が異なる 2 つの正の解をもつような $a$ の範囲を、 $t$ の 2 次方程式の解の配置として求められる

前提

置き換えによる指数方程式・不等式（数学II 指数関数と対数関数）
2次方程式の解の配置（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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2次方程式の解の配置（数学I 2次関数）

説明

$t = 2^{x}$ と置き換えたあとの $t$ の 2 次方程式について、その解がどこにあるかを調べます。これにより、もとの指数方程式の解の個数や符号についての条件を満たす文字定数の範囲を求められるようになります。たとえば「異なる 2 つの正の解をもつ」「正の解と負の解を 1 つずつもつ」といった条件を、 $t$ の解の配置の条件に言い換えて処理します。

なぜそうしてよいのか

$t = 2^{x}$ は、 $x$ が増えると必ず増える関数です。 $x$ がすべての実数を動くとき、 $t$ は $t > 0$ の範囲のすべての値をちょうど 1 回ずつとります。そのため、 $t > 0$ である $t$ を 1 つ決めると、 $2^{x} = t$ となる $x$ はただ 1 つに決まります。つまり $x$ と $t$ の値は 1 対 1 に対応していて、異なる $x$ には異なる $t$ が、異なる $t$ には異なる $x$ が対応します。

さらに $2^{0} = 1$ で、 $2^{x}$ は増加関数なので、 $x > 0 ⟺ t > 1$ 、 $x = 0 ⟺ t = 1$ 、 $x < 0 ⟺ 0 < t < 1$ が成り立ちます。したがって「 $x$ の方程式が異なる 2 つの正の解をもつ」ことは、「 $t$ の 2 次方程式が $t > 1$ の範囲に異なる 2 つの解をもつ」ことと全く同じ意味になります。

こうして条件が $t$ の 2 次方程式の解の配置の問題になるので、前提の技能である判別式・軸の位置・端点での値 $f (1)$ の符号を使って係数の範囲を求めればよいのです。

手順

$t = 2^{x}$ と置き換え、方程式を $t$ の 2 次方程式 $f (t) = 0$ に直す（ $4^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}$ 、 $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x} = 2 t$ に注意）。 $t$ の範囲は $t > 0$ 。
$x$ についての条件を $t$ の条件に言い換える。 $x > 0 ⟺ t > 1$ 、 $x < 0 ⟺ 0 < t < 1$ 、異なる $x$ $⟺$ 異なる $t$ を使う。
言い換えた条件を解の配置の条件にする。 $f (t)$ の $t^{2}$ の係数が正（グラフが下に凸）なので、たとえば「 $t > 1$ に異なる 2 つの解」は、(判別式) $> 0$ 、(軸) $> 1$ 、 $f (1) > 0$ の 3 つで表せる。
3 つの不等式をそれぞれ解き、すべてを同時に満たす範囲（共通部分）を求める。

例題

$x$ の方程式 $4^{x} - a \cdot 2^{x + 1} + a + 12 = 0$ が異なる 2 つの正の解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

例題の解答

【手順1】 $t = 2^{x}$ とおくと $t > 0$ で、 $4^{x} = t^{2}$ 、 $2^{x + 1} = 2 t$ だから、方程式は $t^{2} - 2 a t + a + 12 = 0$ となる。 $f (t) = t^{2} - 2 a t + a + 12$ とおく。

【手順2】 $x > 0 ⟺ t > 1$ で、異なる $x$ には異なる $t$ が対応する。よって条件は「 $f (t) = 0$ が $t > 1$ の範囲に異なる 2 つの解をもつ」ことと同じである。

【手順3】 $t^{2}$ の係数は $1 > 0$ なので放物線 $y = f (t)$ は下に凸である。 $f (t) = (t - a)^{2} - a^{2} + a + 12$ より軸は $t = a$ 。条件は次の 3 つである。
(i) 判別式 $D$ について $\frac{D}{4} = a^{2} - (a + 12) = a^{2} - a - 12 > 0$
(ii) 軸について $a > 1$
(iii) $f (1) = 1 - 2 a + a + 12 = 13 - a > 0$

【手順4】(i) $(a - 4) (a + 3) > 0$ より $a < - 3$ または $a > 4$ 。(ii) $a > 1$ 。(iii) $a < 13$ 。これらの共通部分をとって $4 < a < 13$ 。

答え: $4 < a < 13$

よくある誤り

$x > 0$ の条件を $t > 0$ と言い換えてしまう誤り。 $t > 0$ は $2^{x}$ がいつでも満たす条件で、 $x$ が正であることには対応しない。正しくは $x > 0 ⟺ t = 2^{x} > 1$ なので、端点は $t = 1$ を使い $f (1) > 0$ を調べる。
判別式を $\frac{D}{4} \geq 0$ としてしまう誤り。 $\frac{D}{4} = 0$ のとき $t$ の解は重解 1 つで、 $x$ の解も 1 つしかない。「異なる 2 つ」なら正しくは $\frac{D}{4} > 0$ （例題では $a^{2} - a - 12 > 0$ ）。
端点の条件を $f (1) \geq 0$ としてしまう誤り。 $f (1) = 0$ だと $t = 1$ が解になり、対応する $x = 0$ は正の解ではない。正しくは $f (1) > 0$ （例題では $13 - a > 0$ ）。
$2^{x + 1}$ を $2^{x} + 1$ や $t + 1$ と置き換えてしまう誤り。正しくは $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x} = 2 t$ なので、 $a \cdot 2^{x + 1} = 2 a t$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

置き換えた指数方程式の解の個数・配置

前提

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なぜそうしてよいのか

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よくある誤り

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