置き換えによる指数方程式・不等式

$t = 2^{x}$ （ $t > 0$ ）と置き換えて、 $4^{x} - 3 \cdot 2^{x} + 2 = 0$ や $(\frac{1}{4})^{x} - 9 (\frac{1}{2})^{x + 1} + 2 \leq 0$ のような式を $t$ の 2 次方程式・不等式に直して解き、 $x$ に戻せる

前提

指数方程式・指数不等式の基本（数学II 指数関数と対数関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）

この技能までの道筋（24 技能）

算数中学高校大学大学院

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説明

$4^{x}$ や $2^{x + 1}$ のように、同じ底 $2$ の累乗がいくつも混ざった方程式・不等式は、底をそろえて指数を比べるだけでは解けません。この技能では $t = 2^{x}$ と置き換えて、 $t$ の 2 次方程式・2 次不等式に直して解き、最後に $x$ に戻します。 $4^{x} - 3 \cdot 2^{x} + 2 = 0$ や $(\frac{1}{4})^{x} - 9 (\frac{1}{2})^{x + 1} + 2 \leq 0$ のような、 $a^{2 x}$ と $a^{x}$ が同時に現れる式に使います。

なぜそうしてよいのか

指数法則から $4^{x} = (2^{2})^{x} = 2^{2 x} = (2^{x})^{2}$ 、 $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ 、 $2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x}$ です。つまり、底を $2$ にそろえると、どの項も「 $2^{x}$ のかたまり」の 2 乗・定数倍・定数だけで書けます。そこで $2^{x}$ を 1 つの文字 $t$ とみなせば、式は $t$ の 2 次式になり、すでに知っている 2 次方程式・2 次不等式の解き方が使えます。たとえば $4^{x} - 3 \cdot 2^{x} + 2 = 0$ は $t^{2} - 3 t + 2 = 0$ となり、 $(t - 1) (t - 2) = 0$ から $t = 1, 2$ 、つまり $2^{x} = 1, 2$ より $x = 0, 1$ です。

ただし $t$ は何でもよい数ではありません。指数関数 $y = 2^{x}$ のグラフは常に $x$ 軸より上にあるので $t = 2^{x} > 0$ です。逆に、正の数ならどんな $t$ にも $2^{x} = t$ となる $x$ がちょうど 1 つあります。したがって「 $x$ についての問題」と「 $t > 0$ の範囲での $t$ の問題」は同じものになり、 $t$ の答えのうち $t > 0$ を満たす部分だけを $x$ に戻せばよいのです。

$x$ に戻すときは前提の技能（底をそろえて指数を比べる）を使います。底が $1$ より大きければ不等号の向きはそのまま、 $0$ より大きく $1$ より小さければ（ $t = (\frac{1}{2})^{x}$ と置いた場合など）不等号の向きが逆になります。

手順

手順1: すべての項を同じ $a^{x}$ で表す。例: $4^{x} = (2^{x})^{2}$ 、 $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ 、 $(\frac{1}{4})^{x} = {(\frac{1}{2})^{x}}^{2}$
手順2: $t = a^{x}$ と置き、必ず条件 $t > 0$ を書き添える。式を $t$ の 2 次方程式・2 次不等式に書き直す
手順3: $t$ の 2 次方程式・2 次不等式を解く（因数分解やグラフで符号を読む）
手順4: 手順3の結果と $t > 0$ を合わせ、 $t$ の範囲（値）を決める
手順5: $a^{x} = t$ に戻し、右辺も $a$ の累乗で書いて指数を比べ $x$ を求める。底 $a$ が $0 < a < 1$ なら不等号の向きを逆にする

例題

不等式 $4^{x} - 2^{x + 2} - 32 > 0$ を解け。

例題の解答

手順1: $4^{x} = (2^{x})^{2}$ 、 $2^{x + 2} = 2^{2} \cdot 2^{x} = 4 \cdot 2^{x}$ と表せる。
手順2: $t = 2^{x}$ と置くと $t > 0$ であり、不等式は $t^{2} - 4 t - 32 > 0$ となる。
手順3: 左辺を因数分解すると $(t - 8) (t + 4) > 0$ 。 $y = (t - 8) (t + 4)$ のグラフは下に凸で $t = - 4, 8$ で $t$ 軸と交わるから、 $t < - 4$ または $t > 8$ 。
手順4: $t > 0$ と合わせると $t > 8$ （ $t < - 4$ の部分は $t > 0$ に反するので捨てる）。
手順5: $2^{x} > 8 = 2^{3}$ 。底 $2$ は $1$ より大きいので不等号の向きはそのままで、 $x > 3$ 。

答え: $x > 3$

よくある誤り

$2^{x + 1}$ を $t + 1$ や $2^{x} + 2$ としてしまう誤り。正しくは $2^{x + 1} = 2^{x} \cdot 2^{1} = 2 t$ 。
$4^{x}$ を $2 t$ や $4 t$ としてしまう誤り。正しくは $4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2} = t^{2}$ 。
条件 $t > 0$ を忘れ、たとえば $(t - 8) (t + 4) > 0$ の解 $t < - 4$ からも $x$ を求めようとする誤り。 $2^{x} < - 4$ を満たす $x$ は存在しないので、 $t > 0$ と合わせて $t > 8$ だけを残すのが正しい。
$t = (\frac{1}{2})^{x}$ と置いたとき、戻す段階で不等号を逆にし忘れる誤り。例えば $(\frac{1}{4})^{x} - 9 (\frac{1}{2})^{x + 1} + 2 \leq 0$ は $2 t^{2} - 9 t + 4 \leq 0$ から $\frac{1}{2} \leq t \leq 4$ 、すなわち $(\frac{1}{2})^{1} \leq (\frac{1}{2})^{x} \leq (\frac{1}{2})^{- 2}$ 。底が $1$ より小さいので向きが逆になり、正しくは $- 2 \leq x \leq 1$ （ $1 \leq x \leq - 2$ としてはいけない）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

置き換えた指数方程式の解の個数・配置（数学II 指数関数と対数関数）
2 次元イジング模型の臨界点（大学院物理相転移と繰り込み群）