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指数関数と対数関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 指数関数と対数関数

方程式 $9^{x} - 8 \cdot 3^{x} - 9 = 0$ を満たす実数 $x$ を求めよ。

この問題で使うもの

置き換えによる指数方程式・不等式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（25 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「置き換えによる指数方程式」の技能を使います。 $9^{x}$ を $3^{x}$ を使って表し、 $t = 3^{x}$ とおきましょう。このとき $t$ のとりうる値の範囲にも注意します。

ヒント 2

$9^{x} = (3^{x})^{2}$ なので、 $t = 3^{x} (t > 0)$ とおくと方程式は $t^{2} - 8 t - 9 = 0$ になります。

ヒント 3

$t^{2} - 8 t - 9 = (t - 9) (t + 1) = 0$ より $t = 9, - 1$ です。 $t > 0$ を満たすのはどちらかを考え、 $3^{x} = t$ から $x$ を求めましょう。

答えと解説

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2

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手順1：同じ指数関数で表す

$9^{x} = (3^{2})^{x} = (3^{x})^{2}$ であるから、方程式は $3^{x}$ だけを使って
$(3^{x})^{2} - 8 \cdot 3^{x} - 9 = 0$
と書き直せる。

手順2：置き換えて $t$ の範囲を確認する

$t = 3^{x}$ とおく。 $3^{x}$ はどんな実数 $x$ に対しても正の値をとるので、 $t > 0$ である。方程式は
$t^{2} - 8 t - 9 = 0$
となる。

手順3： $t$ の 2 次方程式を解く

左辺を因数分解すると
$(t - 9) (t + 1) = 0$
よって $t = 9, - 1$ である。

$t > 0$ であるから、 $t = - 1$ は適さない。したがって $t = 9$ である。

手順4： $x$ に戻す

$3^{x} = 9$ より $3^{x} = 3^{2}$ である。底がそろったので指数を比べて
$x = 2$

（確認： $9^{2} - 8 \cdot 3^{2} - 9 = 81 - 72 - 9 = 0$ となり、確かに成り立つ。）

答え： $x = 2$

別解

$t = 3^{x}$ とおくと $t > 0$ で、方程式は $t^{2} - 8 t - 9 = 0$ となる。これを因数分解すると $(t - 9) (t + 1) = 0$ なので、 $t = 9$ または $t = - 1$ 。 $t > 0$ より $t = 9$ 。よって $3^{x} = 9 = 3^{2}$ から $x = 2$ 。検算： $x = 2$ のとき $9^{2} - 8 \cdot 3^{2} - 9 = 81 - 72 - 9 = 0$ となり、方程式を満たす。

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