指数関数と対数関数の問題

手順 1：置き換える。
$t=3^x$ とおくと、$9^x=(3^2{)}^x=(3^x{)}^2=t^2$ であるから、方程式は
$$t^2-2at+a+2=0(1)$$
となる。

手順 2：$x$ と $t$ の対応を調べる。
$t=3^x$ は、$x$ がすべての実数を動くとき $t>0$ の値をすべてとり、$t>0$ の値 $1$ つに対して $x$ がちょうど $1$ つ決まる（指数関数 $y=3^x$ のグラフは単調に増加する）。
したがって
$$x\text{ の実数解が異なる }2\text{ つ}⟺(1)\text{ が異なる }2\text{ つの正の解をもつ}$$
となる。

手順 3：2 次方程式の解の配置として考える。
$f(t)=t^2-2at+a+2$ とおく。$y=f(t)$ のグラフは下に凸の放物線で、軸は $t=a$ である。$f(t)=0$ が異なる $2$ つの正の解をもつ条件は、次の $3$ つが同時に成り立つことである。

(i) 判別式 $D>0$：
$$\frac{D}{4}=a^2-(a+2)=a^2-a-2=(a+1)(a-2)>0$$
より $a<-1$ または $a>2$。

(ii) 軸が $t>0$ の部分にある：$a>0$。

(iii) 端点 $t=0$ での値が正：$f(0)=a+2>0$ より $a>-2$。

(i)〜(iii) の共通部分を求めると $a>2$。

（確認：$a=3$ のとき $(1)$ は $t^2-6t+5=0$ で、$t=1,5$。$x=0,{\log }_{3}5$ の異なる $2$ つの実数解となり、条件を満たす。）

よって、求める範囲は $a>2$ である。

$t=3^x$ とおくと $t>0$ で、$x$ と $t$ は 1 対 1 に対応する。方程式は $t^2-2at+a+2=0$ となるので、これが異なる 2 つの正の実数解をもつ条件を求める。

$f(t)=t^2-2at+a+2$ とする。軸は $t=a$。

1. 判別式: $D/4=a^2-(a+2)=a^2-a-2=(a-2)(a+1)>0$ より $a<-1$ または $a>2$。
2. 軸が正: $a>0$。
3. $f(0)=a+2>0$ より $a>-2$。

解と係数の関係で見ても、2 解の和 $2a>0$、積 $a+2>0$ となり同じ条件である。

3 条件を合わせると $a>2$。

検算: $a=3$ のとき $t^2-6t+5=0$ より $t=1,5$ で、ともに正の異なる解。$x=0,{\log }_{3}5$ の 2 つの実数解になる。
$a=2$ のとき $t^2-4t+4=0$ は重解 $t=2$ となり不適。
$a=-1.5$ のとき $D>0$ だが和が負で、正の解をもたない。

答え: $a>2$