この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

指数関数と対数関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 指数関数と対数関数

方程式 $9^{x} - 8 \cdot 3^{x} - 9 = 0$ を満たす実数 $x$ を求めよ。

この問題で使うもの

置き換えによる指数方程式・不等式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（25 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

置き換えによる指数方程式の解き方を使います。 $9^{x}$ を $3^{x}$ を使って表せないか考え、 $t = 3^{x}$ と置き換えましょう。 $t$ のとりうる値の範囲にも注意します。

ヒント 2

$9^{x} = (3^{x})^{2} = t^{2}$ なので、方程式は $t^{2} - 8 t - 9 = 0$ となります。 $t = 3^{x} > 0$ であることを忘れないようにしましょう。

ヒント 3

$t^{2} - 8 t - 9 = (t - 9) (t + 1) = 0$ より $t = 9, - 1$ です。 $t > 0$ を満たすのはどちらかを考え、 $3^{x} = t$ から $x$ を求めましょう。

答えと解説

答えを見る

2

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

手順1：置き換える文字を決める

$9^{x} = (3^{2})^{x} = (3^{x})^{2}$ なので、 $t = 3^{x}$ と置き換えると $9^{x} = t^{2}$ と表せる。

ここで、 $3^{x}$ はどんな実数 $x$ に対しても正の値をとるので、 $t > 0$ である。この条件を必ず書いておく。

手順2： $t$ の 2 次方程式に直して解く

与えられた方程式は
$t^{2} - 8 t - 9 = 0$
となる。左辺を因数分解すると
$(t - 9) (t + 1) = 0$
よって $t = 9, - 1$ である。

手順3：条件 $t > 0$ で解を選ぶ

$t > 0$ であるから、 $t = - 1$ は適さない。したがって $t = 9$ である。

手順4： $x$ に戻す

$3^{x} = 9 = 3^{2}$ より、指数を比べて
$x = 2$

（確認： $9^{2} - 8 \cdot 3^{2} - 9 = 81 - 72 - 9 = 0$ となり、確かに成り立つ。）

よって、答えは $x = 2$ である。

別解

$t = 3^{x}$ とおくと $t > 0$ で、方程式は $t^{2} - 8 t - 9 = 0$ となる。これを因数分解すると $(t - 9) (t + 1) = 0$ なので $t = 9$ または $t = - 1$ 。 $t > 0$ より $t = 9$ 。よって $3^{x} = 9 = 3^{2}$ から $x = 2$ 。検算： $9^{2} - 8 \cdot 3^{2} - 9 = 81 - 72 - 9 = 0$ となり、条件を満たす。

指数関数と対数関数の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題