2 次元イジング模型の臨界点

オンサーガーの結果 $sinh 2 K_{x} sinh 2 K_{y} = 1$ （等方的なら $sinh 2 K_{c} = 1$ ）や双対性を使い、異方的な正方格子や、有効結合に帰着させた装飾格子の転移温度を正確な形で求められる

前提

部分和による有効結合（デコレーション・デシメーション）（大学院物理相転移と繰り込み群）
置き換えによる指数方程式・不等式（数学II 指数関数と対数関数）

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算数中学高校大学大学院

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気体分子運動論（高校物理熱と気体（知識））
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順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
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偏微分と全微分（大学数学微分積分）
ミクロカノニカル分布とボルツマンのエントロピー（大学物理統計力学）
カノニカル分布と分配関数（大学物理統計力学）
部分和による有効結合（デコレーション・デシメーション）（大学院物理相転移と繰り込み群）
1 次不等式（数学I 数と式）
指数方程式・指数不等式の基本（数学II 指数関数と対数関数）
置き換えによる指数方程式・不等式（数学II 指数関数と対数関数）

説明

正方格子上の 2 次元イジング模型 $H = - J_{x} \sum s_{i, j} s_{i + 1, j} - J_{y} \sum s_{i, j} s_{i, j + 1}$ は、 $K_{x} = β J_{x}, K_{y} = β J_{y}$ （ $β = 1/ k_{B} T$ ）が $sinh 2 K_{x} sinh 2 K_{y} = 1$ を満たす温度で強磁性転移を起こすことが厳密にわかっています（オンサーガー）。等方的な場合は $sinh 2 K_{c} = 1$ 、すなわち $K_{c} = \frac{1}{2} lo g (1 + 2)$ で、 $k_{B} T_{c} / J = 2/ lo g (1 + 2) \approx 2.269$ です。この条件と、部分和で求めた有効結合を組み合わせると、異方的な格子や装飾格子の転移温度を近似なしの正確な形で求められます。

なぜそうしてよいのか

等方的な正方格子（ $N$ サイト、結合 $2 N$ 本、 $K = β J > 0$ ）の分配関数を 2 通りに展開します。高温側では $s s^{'} = \pm 1$ より $e^{K s s^{'}} = cosh K (1 + s s^{'} tanh K)$ と書け（ $cosh x = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}$ 、 $tanh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}}$ ）、すべての結合について積を展開してスピンの和をとると、各サイトに偶数本の結合が集まる項（閉じた線の集まり）だけが残ります: $Z = 2^{N} (cosh K)^{2 N} \sum_{G} (tanh K)^{∣ G ∣}$ （ $∣ G ∣$ は線の総本数）。低温側では全スピンがそろった状態から出発し、反平行な結合 1 本ごとに因子 $e^{- 2 K}$ が掛かると考えます。反平行な結合の位置は、格子の各正方形の中心を結んだ格子（双対格子、正方格子ではやはり正方格子）の上で閉じた線（磁区の境界）になるので、 $Z = 2 e^{2 N K} \sum_{G} (e^{- 2 K})^{∣ G ∣}$ です。

2 つの和は同じ形をしているので、 $K^{*}$ を $tanh K^{*} = e^{- 2 K}$ で定めると、温度 $K$ の低温展開の和と温度 $K^{*}$ の高温展開の和が一致します（双対性）。 $K$ が大きい（低温）ほど $K^{*}$ は小さい（高温）ので、自由エネルギーが $K$ で特異なら $K^{*}$ でも特異です。転移点がただ 1 つなら、それは自分自身と対応する点 $K_{c} = K_{c}^{*}$ 、つまり $tanh K_{c} = e^{- 2 K_{c}}$ でなければなりません。 $u = e^{- 2 K_{c}}$ とおくと $tanh K_{c} = \frac{1 - u}{1 + u}$ なので $u^{2} + 2 u - 1 = 0$ 、 $u > 0$ より $u = 2 - 1$ 、したがって $sinh 2 K_{c} = \frac{1/ u - u}{2} = \frac{( 2 + 1 ) - ( 2 - 1 )}{2} = 1$ です。オンサーガーの厳密解は、実際にここで転移が起こることを確かめています。

横と縦で結合が違う場合も同様の議論で、転移の条件は $tanh K_{x} = e^{- 2 K_{y}}$ になります。 $t = tanh K_{x}$ とすると $sinh 2 K_{x} = \frac{2 t}{1 - t ^{2}}$ 、 $sinh 2 K_{y} = \frac{e ^{2 K_{y}} - e ^{- 2 K_{y}}}{2} = \frac{1 - t ^{2}}{2 t}$ なので、これは $sinh 2 K_{x} sinh 2 K_{y} = 1$ と同じ条件です。正方格子の結合の途中に別のスピンが置かれた装飾格子では、途中のスピンについて先に和をとれば正方格子の有効結合 $K^{'}$ に帰着するので、 $K^{'}$ を転移の条件に入れて元の結合を解けば転移温度が得られます。

手順

対象の格子を、正方格子上の（異方的かもしれない）最近接結合 $K_{x}, K_{y}$ のイジング模型に帰着させる。装飾格子なら途中のスピンについて和をとり、有効結合 $K^{'}$ （ $e^{2 K^{'}} = cosh 2 K$ など）を求める。
転移の条件 $sinh 2 K_{x} sinh 2 K_{y} = 1$ （等方的なら $sinh 2 K^{'} = 1$ 、すなわち $e^{2 K^{'}} = 1 + 2$ ）を書く。 $tanh K_{x} = e^{- 2 K_{y}}$ の形を使ってもよい。
条件を元の結合 $K = β J$ についての方程式に直し、 $y = e^{2 K}$ などと置き換えて代数方程式として解く。
$K > 0$ （強磁性、 $T > 0$ ）を満たす解を選び、 $K_{c} = J / (k_{B} T_{c})$ または $k_{B} T_{c} / J = 1/ K_{c}$ の形にまとめる。

例題

正方格子の各結合の中点にイジングスピン $σ = \pm 1$ を 1 個ずつ置いた装飾正方格子を考える。ハミルトニアンは $H = - J \sum σ (s_{1} + s_{2})$ で、和はすべての装飾スピン $σ$ についてとり、 $s_{1}, s_{2} = \pm 1$ はその $σ$ が置かれた結合の両端の正方格子のスピンである（ $J > 0$ 、磁場なし）。正方格子の等方的イジング模型の転移点が $sinh 2 K_{c} = 1$ であることを用いて、この装飾格子の転移点での $K = J / (k_{B} T_{c})$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: 各 $σ$ について和をとると、 $\sum_{σ = \pm 1} e^{K σ (s_{1} + s_{2})} = A e^{K^{'} s_{1} s_{2}}$ で、 $s_{1} = s_{2}$ のとき $2 cosh 2 K = A e^{K^{'}}$ 、 $s_{1} = - s_{2}$ のとき $2 = A e^{- K^{'}}$ 。割って $e^{2 K^{'}} = cosh 2 K$ 。 $A$ は定数なので転移点に影響せず、系は結合 $K^{'}$ の等方的な正方格子イジング模型と同じ転移点をもつ。

手順 2: $sinh 2 K^{'} = 1$ は $e^{2 K^{'}} - e^{- 2 K^{'}} = 2$ 、 $e^{2 K^{'}} > 0$ より $e^{2 K^{'}} = 1 + 2$ 。よって
$cosh 2 K = 1 + 2 .$

手順 3: $y = e^{2 K}$ とおくと $\frac{y + y ^{- 1}}{2} = 1 + 2$ より
$y^{2} - 2 (1 + 2) y + 1 = 0, y = (1 + 2) \pm (1 + 2)^{2} - 1 = (1 + 2) \pm 2 + 22 .$

手順 4: $K > 0$ には $y > 1$ が必要なので複号は $+$ （ $-$ の解は 2 解の積が 1 より $y < 1$ ）。よって
$K = \frac{1}{2} lo g (1 + 2 + 2 + 22) \approx 0.764.$
装飾スピンを経由する分だけ相関が弱まるので、正方格子の $K_{c} \approx 0.441$ より大きな結合（低い温度）が必要になる。

答え: $\frac{1}{2} lo g (1 + 2 + 2 + 22)$

よくある誤り

$sinh 2 K_{c} = 1$ から $K_{c} = lo g (1 + 2)$ としてしまう（2 で割り忘れる）、または $sinh K_{c} = 1$ と取り違える誤り。正しくは $2 K_{c} = lo g (1 + 2)$ で $K_{c} = \frac{1}{2} lo g (1 + 2) \approx 0.4407$ 、 $k_{B} T_{c} / J = 2/ lo g (1 + 2) \approx 2.269$ 。
異方的な格子で平均の結合 $\frac{K _{x} + K _{y}}{2}$ を等方的な条件 $sinh 2 K = 1$ に入れてしまう誤り。正しくは $sinh 2 K_{x} sinh 2 K_{y} = 1$ 。例えば $J_{y} = 2 J_{x}$ なら $K = β J_{x}$ について $sinh 2 K sinh 4 K = 1$ を解く。
装飾格子で元の結合 $K$ をそのまま $sinh 2 K = 1$ に入れてしまう誤り。転移の条件が適用できるのは有効結合 $K^{'}$ （ $e^{2 K^{'}} = cosh 2 K$ ）なので、正しくは $cosh 2 K = 1 + 2$ を解く。
$y = e^{2 K}$ の 2 次方程式で小さい方の解 $y = (1 + 2) - 2 + 22 < 1$ を選んでしまう誤り。これは $K < 0$ に対応する（ $cosh 2 K$ は $K$ の偶関数なので $\pm K$ が両方解になる）。 $J > 0$ では正しくは $y > 1$ の解を選ぶ。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
正方格子上の異方的な強磁性イジング模型
$H = - J_{x} ⟨ ij ⟩_{x} \sum σ_{i} σ_{j} - J_{y} ⟨ ij ⟩_{y} \sum σ_{i} σ_{j} (σ_{i} = \pm 1, J_{x} > 0, J_{y} > 0)$
を考える。ここで $⟨ ij ⟩_{x}$ , $⟨ ij ⟩_{y}$ はそれぞれ $x$ 方向・ $y$ 方向の最近接対を表す。 $K_{x} = \frac{J _{x}}{k _{B} T}$ , $K_{y} = \frac{J _{y}}{k _{B} T}$ とおく（ $k_{B}$ はボルツマン定数、 $T$ は温度）。
この模型の相転移の温度で $K_{x} = \frac{1}{2} lo g 2$ であった。このときの $K_{y}$ を、対数を用いた正確な形で求めよ。ただし、熱力学極限での臨界条件はオンサーガーの結果 $sinh 2 K_{x} sinh 2 K_{y} = 1$ で与えられることを用いてよい。

2 次元イジング模型の臨界点

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題