技能一覧 › 大学院物理 相転移と繰り込み群

部分和による有効結合（デコレーション・デシメーション）

一部のスピンについての和をとって残りのスピンの有効ハミルトニアンを求め、${\sum }_{\sigma }{e}^{K\sigma (s_1+s_2)}=A{e}^{K^{\prime }{s}_1{s}_2}$ から有効結合 $K^{\prime }$ と定数 $A$ を決められる（装飾格子・星形三角形変換など）

前提

• カノニカル分布と分配関数 （大学物理 統計力学）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. 消すスピン $\sigma$ を含むボルツマン因子をすべて集める。例: $\sigma$ が $s_1,s_2$ と結合 $K$ でつながるなら $e^{K\sigma (s_1+s_2)}$。

2. $\sigma =\pm 1$ について和をとり、残るスピンの関数 $g(s_1,s_2)=2\cosh K(s_1+s_2)$ を求める。

3. 置きかえたい形 $A{e}^{K^{\prime }{s}_1{s}_2}$ を決め、残るスピンの値の組（$s_1=s_2$ と $s_1=-s_2$）ごとに $g$ と等しいとおいて連立方程式 $A{e}^{K^{\prime }}=2\cosh 2K$、$A{e}^{-K^{\prime }}=2$ を作る。

4. 辺々割って $K^{\prime }=\frac{1}{2}\log \cosh 2K$（$\tanh K^{\prime }={\tanh }^{2}K$ と同じ）、辺々掛けて $A=2\sqrt{\cosh 2K}$ を求める。

5. 分配関数を $Z=A^{N_{\sigma }}{Z}^{\prime }(K^{\prime })$（$N_{\sigma }$ は消したスピンの数）と書き、自由エネルギーなどの計算に $A$ も含めて使う。

例題

よくある誤り

• 定数 $A$ を無視して ${\sum }_{\sigma }{e}^{K\sigma (s_1+s_2)}=e^{K^{\prime }{s}_1{s}_2}$ とおいてしまう誤り。これでは $s_1=s_2$ と $s_1=-s_2$ の 2 条件 $e^{K^{\prime }}=2\cosh 2K$、$e^{-K^{\prime }}=2$ を同時に満たせない。正しくは $A{e}^{K^{\prime }{s}_1{s}_2}$ とおき、$A=2\sqrt{\cosh 2K}$ も求め、$Z=A^{N_{\sigma }}{Z}^{\prime }$ として自由エネルギーに含める。

• 有効結合を $K^{\prime }=K^2$ や $K^{\prime }=2K$ としてしまう誤り。1 つのスピンを挟んだ 2 本の結合は直列につながっているだけで強め合わない。正しくは $\tanh K^{\prime }={\tanh }^{2}K$、すなわち $K^{\prime }=\frac{1}{2}\log \cosh 2K$ で、$K>0$ なら常に $K^{\prime }<K$。

• $\sigma =-1$ の項を落として ${\sum }_{\sigma }{e}^{K\sigma (s_1+s_2)}=e^{K(s_1+s_2)}$ としてしまう誤り。正しくは両方の値を足して $e^{K(s_1+s_2)}+e^{-K(s_1+s_2)}=2\cosh K(s_1+s_2)$。

• 消すスピンに外場 $h$（$\beta h=H$ と書く）が掛かっているのに、有効ハミルトニアンを結合の項だけにしてしまう誤り。${\sum }_{\sigma }{e}^{\sigma (K(s_1+s_2)+H)}=2\cosh (K(s_1+s_2)+H)$ は $(s_1,s_2)=(1,1),(-1,-1)$ で値が異なるので、正しくは $A{e}^{K^{\prime }{s}_1{s}_2+H^{\prime }(s_1+s_2)}$ とおき、3 通りの値の組から $A,K^{\prime },H^{\prime }$ の 3 つを決める。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（大学院の講義の例題レベル）

  3 つのイジングスピン $s_1,\sigma ,s_2$（それぞれ $\pm 1$）が $s_1-\sigma -s_2$ の順に鎖状につながり、ボルツマン因子が
  $$e^{K\sigma (s_1+s_2)}(K>0)$$
  で与えられている（$K$ は結合定数を $k_{B}T$ で割った無次元量）。真ん中のスピン $\sigma$ について和をとると、$s_1,s_2$ のすべての値について
  $$\sum _{\sigma =\pm 1}{e}^{K\sigma (s_1+s_2)}=A{e}^{K^{\prime }{s}_1{s}_2}$$
  が成り立つように、$s_1,s_2$ によらない定数 $A>0$ と有効結合 $K^{\prime }$ を決めることができる。

  $K=\frac{1}{2}\log 2$ のとき、有効結合 $K^{\prime }$ を求めよ。

この技能を使う問題

• 難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）

  正方格子（格子点数 $N$、周期境界条件、$N\to \infty$）の各格子点にイジングスピン $s_i=\pm 1$ がある。さらに、正方格子の最近接格子点の組（ボンド）$⟨ij⟩$ のそれぞれに、2 個の「装飾スピン」${\sigma }_{ij}^{(1)},{\sigma }_{ij}^{(2)}=\pm 1$ を並列に置く。ハミルトニアンは
  $$H=-J\sum _{⟨ij⟩}\sum _{a=1}^2{\sigma }_{ij}^{(a)}(s_i+s_j)(J>0)$$
  とする。すなわち、各装飾スピンはそのボンドの両端の格子点スピンとだけ結合定数 $J$ で相互作用し、格子点スピンどうし・装飾スピンどうしの直接の相互作用や外部磁場はない。この系は温度 $T_c$ でただ 1 つの相転移を示す。$k_B{T}_c/J$ の正確な値を、根号と自然対数 $\log$ を用いた式で求めよ。ただし、異方性のない正方格子イジング模型（最近接結合のみ）の臨界点についてはオンサーガーの厳密解を用いてよい。

• 難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）

  3 状態ポッツ模型をダイヤモンド型階層格子の上で考える。各スピン ${\sigma }_i$ は $1,2,3$ のいずれかの値をとる。換算ハミルトニアンは
  $$-\beta \mathcal{H}=K\sum _{⟨ij⟩}{\delta }_{{\sigma }_i,{\sigma }_j}(K>0)$$
  である。和は格子のすべてのボンドについてとる。

  この格子は次の操作をくり返して作る。1 本のボンドを、両端の 2 点を結ぶ 2 本の並列な経路に置き換える。それぞれの経路は、内部スピン 1 個をはさんで直列につながった 2 本のボンドからなる（1 本のボンドが 4 本のボンドと内部スピン 2 個からなる「ひし形」になる）。逆に、ひし形の内部スピン 2 個についての和を厳密にとる（デシメーション）と、両端を結ぶ 1 本の有効ボンドに戻る。その結合定数を $K^{\prime }$ とする。これにより厳密な繰り込み変換 $K\to K^{\prime }$ が得られる。この変換で長さの尺度は $b=2$ 倍になる（両端の間の最短経路のボンド数が $2$ から $1$ になる）。

  この変換には $0<K^{\ast }<\infty$ を満たす非自明な固定点 $K^{\ast }$ がある。$K^{\ast }$ のまわりで変換を線形化した固有値を $\lambda ={\frac{d{K}^{\prime }}{dK}|}_{K=K^{\ast }}$ とする。相関長の臨界指数 $\nu$ は $\xi \propto |K-K^{\ast }{|}^{-\nu }$ で定義され、$\nu =\frac{\log b}{\log \lambda }$ で与えられる。$\nu$ を自然対数を用いた閉じた形で求めよ。

この技能の次に学べること

• 2 次元イジング模型の臨界点 （大学院物理 相転移と繰り込み群）
• 実空間繰り込み群（デシメーション）の固定点 （大学院物理 相転移と繰り込み群）