相転移と繰り込み群

一様な秩序変数 $m$（実数）をもつ系の単位体積あたりのランダウ自由エネルギーが、外場がないとき
$$f(T,m)=f_0(T)+\frac{a}{2}t{m}^2+\frac{b}{4}{m}^4,t=\frac{T-T_c}{T_c}$$
で与えられる。$a>0$, $b>0$ は温度によらない定数、$T_c>0$ は転移温度、$f_0(T)$ は $m$ によらない滑らかな関数である。熱平衡では $f$ が $m$ について最小となる値をとる。

単位体積あたりの比熱を $c=-T\frac{{\partial }^2{f}_{\text{eq}}}{\partial T^2}$（$f_{\text{eq}}$ は平衡での自由エネルギー）で定めるとき、転移点での比熱のとび
$$\Delta c=\underset{T\to T_c-0}{\lim }c-\underset{T\to T_c+0}{\lim }c$$
を $a$, $b$, $T_c$ を用いて表せ。

$N$ 個のイジングスピン $s_i=\pm 1$（$i=1,\dots ,N$）が格子間隔 $1$ の 1 次元の環（周期境界条件 $s_{N+1}=s_1$）に並び、エネルギーが
$$E=-J\sum _{i=1}^N{s}_i{s}_{i+1}(J>0)$$
で与えられる（磁場はない）。系は温度 $T$ の熱平衡にあり、$K=\frac{J}{k_{B}T}$ とする。

転移行列の固有値を ${\lambda }_{+}>|{\lambda }_{-}|$ とし、$N\to \infty$ での相関長を $\xi =\frac{1}{\log ({\lambda }_{+}/{\lambda }_{-})}$（格子間隔を単位とする）で定める。$K=\frac{1}{2}\log 2$ のとき、$\xi$ を求めよ。

3 つのイジングスピン $s_1,\sigma ,s_2$（それぞれ $\pm 1$）が $s_1-\sigma -s_2$ の順に鎖状につながり、ボルツマン因子が
$$e^{K\sigma (s_1+s_2)}(K>0)$$
で与えられている（$K$ は結合定数を $k_{B}T$ で割った無次元量）。真ん中のスピン $\sigma$ について和をとると、$s_1,s_2$ のすべての値について
$$\sum _{\sigma =\pm 1}{e}^{K\sigma (s_1+s_2)}=A{e}^{K^{\prime }{s}_1{s}_2}$$
が成り立つように、$s_1,s_2$ によらない定数 $A>0$ と有効結合 $K^{\prime }$ を決めることができる。

$K=\frac{1}{2}\log 2$ のとき、有効結合 $K^{\prime }$ を求めよ。

2 次元正方格子（最近接サイトの数 $z=4$）上の強磁性イジング模型
$$H=-J\sum _{⟨i,j⟩}{s}_i{s}_j(J>0,s_i=\pm 1)$$
を考える。和は最近接のサイトの組（各組 1 回）についてとり、磁場はない。系は温度 $T$ の熱平衡にあり、$k_B$ はボルツマン定数とする。

ワイスの分子場近似（各スピンにとって隣接スピンをその平均値 $m=⟨s_i⟩$ で置き換える近似）を用いるとき、自発磁化が $m=\frac{1}{2}$ となる温度 $T$ について、$\frac{k_{B}T}{J}$ を求めよ。

ある連続相転移の臨界点近傍で、相関長の臨界指数が $\nu =\frac{2}{3}$、臨界点での相関関数の異常次元が $\eta =\frac{1}{20}$ であることがわかっている。スケーリング則（フィッシャーのスケーリング則 $\gamma =\nu (2-\eta )$）が成り立つとして、磁化率の臨界指数 $\gamma$ を既約分数で求めよ。

正方格子上の異方的な強磁性イジング模型
$$H=-J_x\sum _{⟨ij{⟩}_x}{\sigma }_i{\sigma }_j-J_y\sum _{⟨ij{⟩}_y}{\sigma }_i{\sigma }_j({\sigma }_i=\pm 1,J_x>0,J_y>0)$$
を考える。ここで $⟨ij{⟩}_x$, $⟨ij{⟩}_y$ はそれぞれ $x$ 方向・$y$ 方向の最近接対を表す。$K_x=\frac{J_x}{k_{B}T}$, $K_y=\frac{J_y}{k_{B}T}$ とおく（$k_B$ はボルツマン定数、$T$ は温度）。

この模型の相転移の温度で $K_x=\frac{1}{2}\log 2$ であった。このときの $K_y$ を、対数を用いた正確な形で求めよ。ただし、熱力学極限での臨界条件はオンサーガーの結果 $\sinh 2K_x\sinh 2K_y=1$ で与えられることを用いてよい。

空間次元 $d=3$ のある磁性体の模型について、長さのスケール因子 $b$ の繰り込み群変換を臨界固定点のまわりで線形化したところ、換算温度 $t$ と換算磁場 $h$ がそれぞれ固有値 $b^{y_t}$, $b^{y_h}$ のスケーリング場になり、
$$y_t=\frac{3}{2},y_h=\frac{5}{2}$$
であった。磁化率の臨界指数 $\gamma$（$\chi \sim |t{|}^{-\gamma }$）を既約分数で求めよ。

$d$ 次元空間（$d$ は正の実数）の 1 成分の実スカラー場 $\varphi (\mathbf{x})$ に対するギンツブルグ・ランダウ・ウィルソンのハミルトニアン
$$\mathcal{H}[\varphi ]=\int d^{d}x\left[\frac{1}{2}(\nabla \varphi {)}^2+\frac{r}{2}{\varphi }^2+v{\varphi }^6\right]$$
を考える。運動量の切断を $\Lambda$ とし、運動量殻 $\Lambda /b<|\mathbf{k}|<\Lambda$（$b>1$）の積分・長さの再スケール $\mathbf{x}=b{\mathbf{x}}^{\prime }$・場の再スケールを行う繰り込み群変換を考える。場の再スケールは、勾配項の係数が $\frac{1}{2}$ のまま変わらないように決める。

ガウス固定点 $r=v=0$ のまわりで、結合定数 $v$ が $v^{\prime }=b^{y_v}v$ と変換されるとき、指数 $y_v$ を $d$ を用いて表せ。

一辺 $L$（格子間隔を単位とする）の有限の系で、連続相転移を示す模型の磁化率 $\chi (t,L)$ を考える（$t$ は換算温度）。臨界点近傍で $L$ が十分大きいとき、有限サイズスケーリング
$$\chi (t,L)=L^{\gamma /\nu }\tilde{\chi }\left(t{L}^{1/\nu }\right)$$
が成り立つとする。ここで $\tilde{\chi }$ は $L$ によらない関数で、ただ 1 つの最大値をもつ。この模型の臨界指数は $\gamma =\frac{5}{4}$, $\nu =\frac{5}{8}$ である。

各 $L$ で $t$ を変えたときの磁化率の最大値を ${\chi }_{\max }(L)$ とする。比 $\frac{{\chi }_{\max }(30)}{{\chi }_{\max }(10)}$ を求めよ。

ユニタリーな極小模型 $\mathcal{M}(m+1,m)$（$m\ge 3$ は整数）の主要場の共形ウェイトは、カッツ表の公式
$$h_{r,s}=\frac{((m+1)r-ms{)}^2-1}{4m(m+1)}(1\le r\le m-1,1\le s\le m)$$
で与えられる。$m=5$ の極小模型 $\mathcal{M}(6,5)$ について、主要場 ${\varphi }_{2,2}$ の共形ウェイト $h_{2,2}$ を既約分数で求めよ。

$d=4-ϵ$ 次元（$0<ϵ\ll 1$）の $n$ 成分 $\mathrm{O}(n)$ 模型
$$\mathcal{H}=\int d^{d}x\left[\frac{1}{2}(\nabla \mathbf{\varphi }{)}^2+\frac{r}{2}{\mathbf{\varphi }}^2+u({\mathbf{\varphi }}^2{)}^2\right]$$
に対し、運動量の切断を $\Lambda =1$ とする運動量殻の繰り込み群を 1 ループで行うと、スケールパラメータ $l=\log b$ に対する流れの方程式は
$$\frac{dr}{dl}=2r+\frac{4(n+2)\bar{u}}{1+r},\frac{d\bar{u}}{dl}=ϵ\bar{u}-\frac{4(n+8){\bar{u}}^2}{(1+r{)}^2}$$
となる。ここで $\bar{u}=K_{d}u$（$K_d$ は正の定数）である。

$n=2$ のとき、ウィルソン・フィッシャー固定点（${\bar{u}}^{\ast }>0$ の固定点）のまわりで流れを線形化し、相関長の臨界指数 $\nu$ を $ϵ$ の 1 次まで求めよ。

2 次元ユークリッド空間の $O(N)$ 非線形シグマ模型
$$S=\frac{N}{2g}\int d^{2}x({\partial }_{\mu }\mathbf{n}{)}^2,{\mathbf{n}}^2=1$$
を考える（$g>0$ は結合定数、$\mathbf{n}$ は $N$ 成分の実ベクトル場）。拘束条件をラグランジュ未定乗数場で取り入れ、$N\to \infty$ の鞍点で未定乗数場が一様な値 $m^2$ をとるとすると、質量ギャップ $m>0$ はギャップ方程式
$$g{\int }_{|\mathbf{k}|<\Lambda }\frac{d^{2}k}{(2\pi {)}^2}\frac{1}{k^2+m^2}=1$$
で決まる。ここで $\Lambda >0$ は運動量の切断（鋭い切断）である。質量ギャップ $m$（正の値）を $g$ と $\Lambda$ を用いて表せ（切断の効果を近似せず、この式を厳密に解くこと）。

ダイヤモンド型階層格子上のボンド・パーコレーションを考える。この格子は、1 本のボンドを「2 本のボンドを直列につないだ経路を 2 本並列に並べたもの」（4 本のボンドからなるひし形）に置き換える操作をくり返して作られる。各ボンドは互いに独立に確率 $p$（$0\le p\le 1$）でつながっている。

ひし形の内部の 2 つの頂点についてデシメーション（和をとって消去）を行い、ひし形を 1 本の有効ボンドに置き換える。有効ボンドがつながっている確率 $p^{\prime }$ は、ひし形の両端の頂点がつながっている確率とする。この変換で長さの尺度は $b=2$ 倍になる。

繰り込み変換 $p^{\prime }=R(p)$ の $0<p^{\ast }<1$ を満たす固定点 $p^{\ast }$ での固有値 $\lambda =R^{\prime }(p^{\ast })$ を用いて、相関長指数 $\nu =\frac{\log b}{\log \lambda }$ を求めよ。答えは自然対数と根号を用いた正確な形で表せ。

2 次元のユニタリーな Virasoro 極小模型 $\mathcal{M}(m+1,m)$（$m\ge 3$ は整数）を考える。トーラス分配関数は対角型（A 型）のモジュラー不変量とする。つまり、Kac 表の各主要場は 1 回ずつ現れ、正則部分と反正則部分の共形次元は等しい（$h=\bar{h}$）。

この模型の中心電荷が
$$c=\frac{25}{28}$$
であるとき、恒等演算子を除く主要場のうち、くりこみ群の意味で relevant なもの（スケーリング次元 $\Delta =h+\bar{h}$ が $\Delta <2$ を満たすもの）は何個あるか。整数で答えよ。

正方格子上の異方的な強磁性イジング模型を考える。ハミルトニアンは
$$H=-J_x\sum _{⟨ij{⟩}_x}{\sigma }_i{\sigma }_j-J_y\sum _{⟨ij{⟩}_y}{\sigma }_i{\sigma }_j,{\sigma }_i=\pm 1$$
とする。ここで $⟨ij{⟩}_x$, $⟨ij{⟩}_y$ はそれぞれ $x$ 方向、$y$ 方向の最近接格子点の対を表す。結合定数は
$$J_x=J,J_y=J{\log }_{2}3(J>0)$$
とし、外部磁場はない。熱力学的極限での相転移温度を $T_c$、ボルツマン定数を $k_B$ とする。$K_x=J_x/(k_{B}T)$, $K_y=J_y/(k_{B}T)$ とおくと、オンサーガーの厳密解によれば、この模型の自由エネルギーが特異になる（相転移が起こる）条件は
$$\sinh 2K_x\sinh 2K_y=1$$
である。これを用いて、$\frac{k_B{T}_c}{J}$ を正確な値で求めよ。

2 次元の共形場理論で、ヴィラソロ代数の中心電荷が $c=\frac{7}{10}$ であり、理論がユニタリーであるとする。$c<1$ のユニタリーな理論では、許されるヴィラソロ代数の既約最高ウェイト表現の最高ウェイト $h$（主要場の正則共形ウェイト）は有限個に限られる。この理論は、ユニタリー性から許されるすべての最高ウェイト表現を含むユニタリー極小模型であるとする。主要場の正則共形ウェイト $h$ としてあり得る値をすべて求め、異なる値の集合として答えよ。

$d=4-ϵ$ 次元の $n$ 成分実スカラー場 ${\varphi }_a(\mathbf{x})$ $(a=1,\dots ,n)$ に対する、次のランダウ・ギンツブルグ・ウィルソン型のハミルトニアン（ボルツマン因子は $e^{-\mathcal{H}}$）を考える。
$$\mathcal{H}=\int d^{d}x\left[\frac{1}{2}\sum _a(\nabla {\varphi }_a{)}^2+\frac{r}{2}\sum _a{\varphi }_a^2+\frac{1}{2}\sum _{a,b}{g}_{ab}{\varphi }_a{\varphi }_b+u(\sum _a{\varphi }_a^2{)}^2\right]$$
ここで $n\ge 2$ は整数、$r,u$ は実数で $u>0$、$g_{ab}$ は実対称かつトレースが $0$（${\sum }_a{g}_{aa}=0$）の行列で、$O(n)$ 対称性を破る 2 次の異方性を表す。運動量の切断を $\Lambda$ とする。

$g_{ab}=0$ のときのウィルソン・フィッシャー固定点のまわりで、$r$ に対応する繰り込み群の固有値を $y_t$、$g_{ab}$ に対応する固有値を $y_g$ とし、クロスオーバー指数を $\Phi =y_g/y_t$（$=y_g\nu$）で定義する。運動量殻を積分する繰り込み群を 1 ループで扱い、$\Phi$ を $ϵ$ の 1 次まで求めよ（答えは $n,ϵ$ の式で、${ϵ}^2$ 以上の項は書かない）。

正方格子（格子点数 $N$、周期境界条件、$N\to \infty$）の各格子点にイジングスピン $s_i=\pm 1$ がある。さらに、正方格子の最近接格子点の組（ボンド）$⟨ij⟩$ のそれぞれに、2 個の「装飾スピン」${\sigma }_{ij}^{(1)},{\sigma }_{ij}^{(2)}=\pm 1$ を並列に置く。ハミルトニアンは
$$H=-J\sum _{⟨ij⟩}\sum _{a=1}^2{\sigma }_{ij}^{(a)}(s_i+s_j)(J>0)$$
とする。すなわち、各装飾スピンはそのボンドの両端の格子点スピンとだけ結合定数 $J$ で相互作用し、格子点スピンどうし・装飾スピンどうしの直接の相互作用や外部磁場はない。この系は温度 $T_c$ でただ 1 つの相転移を示す。$k_B{T}_c/J$ の正確な値を、根号と自然対数 $\log$ を用いた式で求めよ。ただし、異方性のない正方格子イジング模型（最近接結合のみ）の臨界点についてはオンサーガーの厳密解を用いてよい。

3 次元ユークリッド空間で、1 方向（$\tau$ 方向）だけを長さ $L$ でコンパクト化し、残りの 2 方向 $\mathbf{r}=(x,y)$ は無限に広い系（$S_L^1\times {\mathbb{R}}^2$）を考える。この上の $N$ 成分の実スカラー場 $\mathbf{n}(x)$（制約 $\mathbf{n}\cdot \mathbf{n}=1$）からなる $O(N)$ 非線形シグマ模型
$$S=\frac{N}{2g}\int d^{3}x\left[({\partial }_{\mu }\mathbf{n}{)}^2+i\lambda (x)\left(\mathbf{n}\cdot \mathbf{n}-1\right)\right]$$
を考える。ただし $\tau$ 方向には、すべての成分の符号を反転させる反周期的（ねじれ）境界条件
$$\mathbf{n}(\tau +L,\mathbf{r})=-\mathbf{n}(\tau ,\mathbf{r})$$
を課す（$\mathbf{n}\to -\mathbf{n}$ は $O(N)$ の元なので制約と作用を保つ）。

$N\to \infty$ の主要次数（鞍点近似）で扱う。鞍点では $i\lambda =m^2$（$m^2$ は実定数）となり、
$$⟨n_a(x)n_b(x^{\prime })⟩={\delta }_{ab}\frac{g}{N}G(x,x^{\prime }),G={\left(-{\partial }^2+m^2\right)}^{-1}$$
（$G$ は上の反周期的境界条件を満たすグリーン関数）で、$m^2$ は制約条件 $gG(x,x)=1$（ギャップ方程式）で決まる。運動量積分には 3 次元運動量に対する紫外カットオフ $\Lambda$ を入れ、$\Lambda L\to \infty$ の極限をとる。

結合定数 $g$ は無秩序相 $g>g_c$ にあり、無限系（$L\to \infty$）でのギャップ $\Delta >0$ を用いて
$$\frac{1}{g}={\int }^{\Lambda }\frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{k^2+{\Delta }^2}$$
で与えられるとする。さらに $L$ は $\Delta L=2\log \frac{5}{2}$ を満たすとする。自然単位系を用い、$\log$ は自然対数とする。

この系で、相関関数 $⟨\mathbf{n}(\tau ,\mathbf{r})\cdot \mathbf{n}(\tau ,0)⟩$ が $|\mathbf{r}|\to \infty$ で $e^{-|\mathbf{r}|/\xi }$（べき因子を除く）のように減衰するときの相関長 $\xi$ を定義する。比 $\xi /L$ を、正確な値（$\pi$ と対数と根号を用いた式）で求めよ。

一様なスカラー秩序変数 $m$（実数）をもつ系の三重臨界点近傍を、次のランダウ自由エネルギー密度で記述する。
$$f(m)=\frac{a}{2}t{m}^2+\frac{u}{6}{m}^6-hm$$
ここで $a>0$, $u>0$ は定数、$t=(T-T_c)/T_c$ は換算温度、$h$ は秩序変数に共役な外場（実数）である。$m^4$ の係数は $0$ に調整されているものとする。熱平衡状態の $m$ は $f(m)$ を最小にする値で与えられ、ゆらぎは無視する（平均場近似）。

臨界指数と振幅を次のように定義する。
- $h=0$, $t\to 0^{-}$ で $|m|\propto (-t{)}^{\beta }$
- $h\to 0$ での帯磁率 $\chi ={\frac{\partial m}{\partial h}|}_{h\to 0}$ が $t\to 0^{\pm }$ で $\chi \simeq {\Gamma }_{\pm }|t{|}^{-\gamma }$（$t<0$ では自発的に対称性が破れた平衡状態の一方で評価する）
- $t=0$, $h\to 0^{+}$ で $m\propto h^{1/\delta }$

$\beta$, $\gamma$, $\delta$, ${\Gamma }_{+}/{\Gamma }_{-}$ をこの順に組で求めよ。

3 状態ポッツ模型をダイヤモンド型階層格子の上で考える。各スピン ${\sigma }_i$ は $1,2,3$ のいずれかの値をとる。換算ハミルトニアンは
$$-\beta \mathcal{H}=K\sum _{⟨ij⟩}{\delta }_{{\sigma }_i,{\sigma }_j}(K>0)$$
である。和は格子のすべてのボンドについてとる。

この格子は次の操作をくり返して作る。1 本のボンドを、両端の 2 点を結ぶ 2 本の並列な経路に置き換える。それぞれの経路は、内部スピン 1 個をはさんで直列につながった 2 本のボンドからなる（1 本のボンドが 4 本のボンドと内部スピン 2 個からなる「ひし形」になる）。逆に、ひし形の内部スピン 2 個についての和を厳密にとる（デシメーション）と、両端を結ぶ 1 本の有効ボンドに戻る。その結合定数を $K^{\prime }$ とする。これにより厳密な繰り込み変換 $K\to K^{\prime }$ が得られる。この変換で長さの尺度は $b=2$ 倍になる（両端の間の最短経路のボンド数が $2$ から $1$ になる）。

この変換には $0<K^{\ast }<\infty$ を満たす非自明な固定点 $K^{\ast }$ がある。$K^{\ast }$ のまわりで変換を線形化した固有値を $\lambda ={\frac{d{K}^{\prime }}{dK}|}_{K=K^{\ast }}$ とする。相関長の臨界指数 $\nu$ は $\xi \propto |K-K^{\ast }{|}^{-\nu }$ で定義され、$\nu =\frac{\log b}{\log \lambda }$ で与えられる。$\nu$ を自然対数を用いた閉じた形で求めよ。