相転移と繰り込み群の問題

空間次元 $d=3$ のある磁性体の模型について、長さのスケール因子 $b$ の繰り込み群変換を臨界固定点のまわりで線形化したところ、換算温度 $t$ と換算磁場 $h$ がそれぞれ固有値 $b^{y_t}$, $b^{y_h}$ のスケーリング場になり、
$$y_t=\frac{3}{2},y_h=\frac{5}{2}$$
であった。磁化率の臨界指数 $\gamma$（$\chi \sim |t{|}^{-\gamma }$）を既約分数で求めよ。

$d=4-ϵ$ 次元（$0<ϵ\ll 1$）の $n$ 成分 $\mathrm{O}(n)$ 模型
$$\mathcal{H}=\int d^{d}x\left[\frac{1}{2}(\nabla \mathbf{\varphi }{)}^2+\frac{r}{2}{\mathbf{\varphi }}^2+u({\mathbf{\varphi }}^2{)}^2\right]$$
に対し、運動量の切断を $\Lambda =1$ とする運動量殻の繰り込み群を 1 ループで行うと、スケールパラメータ $l=\log b$ に対する流れの方程式は
$$\frac{dr}{dl}=2r+\frac{4(n+2)\bar{u}}{1+r},\frac{d\bar{u}}{dl}=ϵ\bar{u}-\frac{4(n+8){\bar{u}}^2}{(1+r{)}^2}$$
となる。ここで $\bar{u}=K_{d}u$（$K_d$ は正の定数）である。

$n=2$ のとき、ウィルソン・フィッシャー固定点（${\bar{u}}^{\ast }>0$ の固定点）のまわりで流れを線形化し、相関長の臨界指数 $\nu$ を $ϵ$ の 1 次まで求めよ。

3 つのイジングスピン $s_1,\sigma ,s_2$（それぞれ $\pm 1$）が $s_1-\sigma -s_2$ の順に鎖状につながり、ボルツマン因子が
$$e^{K\sigma (s_1+s_2)}(K>0)$$
で与えられている（$K$ は結合定数を $k_{B}T$ で割った無次元量）。真ん中のスピン $\sigma$ について和をとると、$s_1,s_2$ のすべての値について
$$\sum _{\sigma =\pm 1}{e}^{K\sigma (s_1+s_2)}=A{e}^{K^{\prime }{s}_1{s}_2}$$
が成り立つように、$s_1,s_2$ によらない定数 $A>0$ と有効結合 $K^{\prime }$ を決めることができる。

$K=\frac{1}{2}\log 2$ のとき、有効結合 $K^{\prime }$ を求めよ。

正方格子上の異方的な強磁性イジング模型
$$H=-J_x\sum _{⟨ij{⟩}_x}{\sigma }_i{\sigma }_j-J_y\sum _{⟨ij{⟩}_y}{\sigma }_i{\sigma }_j({\sigma }_i=\pm 1,J_x>0,J_y>0)$$
を考える。ここで $⟨ij{⟩}_x$, $⟨ij{⟩}_y$ はそれぞれ $x$ 方向・$y$ 方向の最近接対を表す。$K_x=\frac{J_x}{k_{B}T}$, $K_y=\frac{J_y}{k_{B}T}$ とおく（$k_B$ はボルツマン定数、$T$ は温度）。

この模型の相転移の温度で $K_x=\frac{1}{2}\log 2$ であった。このときの $K_y$ を、対数を用いた正確な形で求めよ。ただし、熱力学極限での臨界条件はオンサーガーの結果 $\sinh 2K_x\sinh 2K_y=1$ で与えられることを用いてよい。

一様な秩序変数 $m$（実数）をもつ系の単位体積あたりのランダウ自由エネルギーが、外場がないとき
$$f(T,m)=f_0(T)+\frac{a}{2}t{m}^2+\frac{b}{4}{m}^4,t=\frac{T-T_c}{T_c}$$
で与えられる。$a>0$, $b>0$ は温度によらない定数、$T_c>0$ は転移温度、$f_0(T)$ は $m$ によらない滑らかな関数である。熱平衡では $f$ が $m$ について最小となる値をとる。

単位体積あたりの比熱を $c=-T\frac{{\partial }^2{f}_{\text{eq}}}{\partial T^2}$（$f_{\text{eq}}$ は平衡での自由エネルギー）で定めるとき、転移点での比熱のとび
$$\Delta c=\underset{T\to T_c-0}{\lim }c-\underset{T\to T_c+0}{\lim }c$$
を $a$, $b$, $T_c$ を用いて表せ。