ユニタリーな極小模型 （ は整数）の主要場の共形ウェイトは、カッツ表の公式
で与えられる。 の極小模型 について、主要場 の共形ウェイト を既約分数で求めよ。
2 次元共形場理論の極小模型
ユニタリーな極小模型 の中心電荷 と、カッツ表の共形ウェイト を使い、主要場の次元の集合や relevant な演算子の個数、対応する臨界指数を求められる
前提
- 繰り込み群の固有値と臨界指数 （大学院物理 相転移と繰り込み群）
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説明
2 次元の臨界点では、系はスケール変換だけでなく局所的に角度を保つ変換（共形変換）でも不変になり、その結果、臨界点の可能な姿がとても強く制限されます。特に「ユニタリーな極小模型」（）は、整数 だけで中心電荷 と、現れるすべての場（主要場）の共形ウェイト が決まる、厳密に解ける臨界点の一覧です。 がイジング模型、 が三重臨界イジング模型、 が 3 状態ポッツ模型（の一部）に対応します。この技能では、 とカッツ表の公式から主要場の次元を並べ、繰り込み群の固有値 を通して relevant な演算子の個数や臨界指数を求めます。
なぜそうしてよいのか
臨界点の場（演算子） は、長さを 倍に粗視化すると と変わる「スケーリング次元」 を持ち、2 点相関は となります。2 次元で共形不変性があると、 は 2 つの数 （左向き・右向きの共形ウェイト）の和 に分かれ、回転に対して向きを持たないスカラーの場（この技能で扱う主要場の組 ）では です。ハミルトニアンに という摂動を加えると、 が 倍、 が 倍になるので、結合 は 倍、つまり繰り込み群の固有値は
です。したがって なら relevant、 なら marginal、 なら irrelevant と判定でき、温度に結びつく場（エネルギー密度）の から 、、秩序変数に結びつく場（スピン）の から が得られます。
どんな が許されるかは共形対称性の代数で決まり、その強さを表す数が中心電荷 です。 で負のノルムの状態（確率が負になる非物理的な状態）が出ないという条件（ユニタリー性）を課すと、 は
という飛び飛びの値に限られ、主要場のウェイトは整数の組 （、）で番号づけされた
に限られることが知られています（これを表に並べたものがカッツ表です）。ここではこの 2 式を出発点として使います。
式を見ると、 と置きかえると の符号が反転するだけなので です。カッツ表の 個のマスは 2 つずつ同じ場を表すので、異なる主要場は 個です。たとえば （）では の 3 個で、恒等演算子 、スピン 、エネルギー です。これから で 、 となり、2 次元イジング模型の厳密な指数が再現されます。
手順
模型の を確認し、中心電荷 を求める
、 のすべての組についてカッツ表 を計算する
の重なりを除き、異なる値 個を主要場のウェイトの集合として並べる
スカラーの主要場のスケーリング次元を 、繰り込み群の固有値を とする
（）の場を relevant と判定する（恒等演算子 は定数の項なので、摂動として数えるかどうかを問題に合わせて決める）
エネルギー・スピンにあたる場の から を出し、、 などの臨界指数を求める
例題
ユニタリーな極小模型 （、三重臨界イジング模型）について、カッツ表 （、）に現れる異なる共形ウェイト の値をすべて求めよ。
例題の解答
手順 1： なので 。また で、。
手順 2：、 について計算する。
- ： より
- ： より
- ： より
手順 3： により 12 個のマスは 2 つずつ一致し、異なる値は 個である。実際に上の結果から
（参考：手順 4・5 を続けると、 の非自明な場は の 4 個で、これらが relevant である。）
答え:
よくある誤り
スケーリング次元を としてしまう誤り（例：イジング模型のエネルギーで ）。正しくはスカラーの場では なので 、。
relevant の条件を としてしまう誤り。2 次元では なので、relevant は 、marginal は 、irrelevant は （例： の は irrelevant）。
カッツ表のマスの数 を主要場の個数としてしまう誤り（ で 12 個とする）。正しくは で 2 つずつ同じ場なので 個（ で 6 個）。
の範囲を入れかえて 、 で計算してしまう誤り。この の書き方では 、 で、範囲を入れかえると で のような表にない値が出てしまう。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
2 次元のユニタリーな Virasoro 極小模型 （ は整数）を考える。トーラス分配関数は対角型（A 型）のモジュラー不変量とする。つまり、Kac 表の各主要場は 1 回ずつ現れ、正則部分と反正則部分の共形次元は等しい（）。
この模型の中心電荷が
であるとき、恒等演算子を除く主要場のうち、くりこみ群の意味で relevant なもの（スケーリング次元 が を満たすもの）は何個あるか。整数で答えよ。2 次元の共形場理論で、ヴィラソロ代数の中心電荷が であり、理論がユニタリーであるとする。 のユニタリーな理論では、許されるヴィラソロ代数の既約最高ウェイト表現の最高ウェイト （主要場の正則共形ウェイト）は有限個に限られる。この理論は、ユニタリー性から許されるすべての最高ウェイト表現を含むユニタリー極小模型であるとする。主要場の正則共形ウェイト としてあり得る値をすべて求め、異なる値の集合として答えよ。