ランダウ理論と平均場の臨界指数

ランダウ自由エネルギー $f (m) = \frac{a}{2} t m^{2} + \frac{b}{4} m^{4} - hm$ （三重臨界点の $m^{6}$ 型も含む）を最小化して、臨界指数 $β, γ, δ, α$ と振幅比 $Γ_{+} / Γ_{-}$ 、比熱のとびを求められる

前提

分配関数から求める自由エネルギー・エントロピー・熱容量（大学物理統計力学）
逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（数学III 微分法）

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算数中学高校大学大学院

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熱力学関数と自然な変数（大学物理熱力学）
分配関数から求める自由エネルギー・エントロピー・熱容量（大学物理統計力学）
逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（数学III 微分法）

説明

相転移点 $T_{c}$ の近くで、秩序変数 $m$ （磁化など）の関数として書いた自由エネルギー密度 $f (m) = \frac{a}{2} t m^{2} + \frac{b}{4} m^{4} - hm$ （ $t = (T - T_{c}) / T_{c}$ 、 $a > 0, b > 0$ 、 $h$ は外場）を最小化するだけで、転移の振る舞いを表す臨界指数 $β, γ, δ, α$ を求められるようになります。あわせて、帯磁率の $T_{c}$ の上下での振幅比 $Γ_{+} / Γ_{-}$ や比熱のとびも計算できます。揺らぎを無視した近似（平均場近似）での結果で、より精密な理論と比べる基準になり、 $m^{4}$ の係数が 0 になる三重臨界点（ $m^{6}$ 項で安定化）にも同じ手順が使えます。

なぜそうしてよいのか

熱平衡では、系は与えられた $T, h$ のもとで自由エネルギーが最小となる状態をとります。ランダウ理論では、秩序変数 $m$ が小さい転移点近傍で自由エネルギー密度を $m$ のべきで展開し、 $h = 0$ で $m \to - m$ の対称性があるとして偶数次だけを残します。 $m^{2}$ の係数が $T_{c}$ で符号を変える（ $\frac{a}{2} t$ ）ことが転移の本質で、 $t > 0$ では $f$ は $m = 0$ だけで最小、 $t < 0$ では $m = 0$ が極大になり、 $m^{4}$ 項（ $b > 0$ ）が $f$ を下に有界にして $m \neq = 0$ の 2 つの極小が生じます。最小の条件 $\partial f / \partial m = 0$ は $h = a t m + b m^{3}$ という $m$ と $h$ の関係（状態方程式）を与え、ここから $m$ の $t$ や $h$ への依存がべき乗の形で読み取れます。

臨界指数は、 $T_{c}$ 近くでの振る舞いを次のように表したときのべきです: $m \propto (- t)^{β}$ （ $h = 0, t < 0$ ）、帯磁率 $χ = (\partial m / \partial h)_{h = 0} ≃ Γ_{\pm} ∣ t ∣^{- γ}$ （ $+$ は $t > 0$ 、 $-$ は $t < 0$ ）、 $m \propto h^{1/ δ}$ （ $t = 0$ ）、比熱 $c \propto ∣ t ∣^{- α}$ 。 $χ$ は状態方程式を $h$ で微分して（陰関数の微分） $1 = (a t + 3 b m^{2}) \partial m / \partial h$ から $χ = 1/ (a t + 3 b m^{2})$ と求めます。

比熱は、前提の熱力学 $S = - \partial F / \partial T$ 、 $C = \partial E / \partial T$ と $E = F + T S$ から $C = T \partial S / \partial T = - T \partial^{2} F / \partial T^{2}$ となることを使います。平衡での自由エネルギー密度 $f_{eq} (T) = f (m_{eq} (T))$ を $t$ の関数として書き、 $\partial / \partial T = (1/ T_{c}) \partial / \partial t$ に注意して 2 回微分します。 $m$ に依存しない背景部分は $T_{c}$ の上下でなめらかにつながるので、とび（差）を計算するときには打ち消し合います。 $f_{eq}$ が $t^{2}$ に比例する場合は比熱が発散せずに有限のとびをもち、これを $α = 0$ と表します。

手順

$\partial f / \partial m = 0$ から状態方程式を書く。 $m^{4}$ 型なら $h = a t m + b m^{3}$ 、 $m^{6}$ 型 $f = \frac{a}{2} t m^{2} + \frac{c}{6} m^{6} - hm$ なら $h = a t m + c m^{5}$ 。
$h = 0$ で解を求め、 $f$ が最小になるものを選ぶ。 $t > 0$ では $m = 0$ 、 $t < 0$ では $m^{2} = - a t / b$ （ $m^{6}$ 型は $m^{4} = - a t / c$ ）。これから $β$ を読む。
$t = 0$ とした状態方程式 $h = b m^{3}$ （ $m^{6}$ 型は $h = c m^{5}$ ）から $m \propto h^{1/ δ}$ の $δ$ を読む。
状態方程式を $h$ で微分して $χ^{- 1} = a t + 3 b m^{2}$ （ $m^{6}$ 型は $a t + 5 c m^{4}$ ）とし、 $t > 0$ と $t < 0$ の平衡の $m$ を代入して $γ$ と $Γ_{+} / Γ_{-}$ を求める。
平衡の $m$ を $f$ に代入して $f_{eq} (t)$ を求め、 $c = - T \partial^{2} f_{eq} / \partial T^{2} = - \frac{T}{T _{c}^{2}} \frac{d ^{2} f _{eq}}{d t ^{2}}$ を $T_{c}$ の上下で計算して、 $α$ と（有限なら）比熱のとびを求める。

例題

秩序変数 $m$ をもつ系の、 $T_{c}$ 近傍での単位体積あたりの自由エネルギーが、外場がないとき
$f (m, T) = f_{0} (T) + \frac{a}{2} t m^{2} + \frac{b}{4} m^{4}, t = \frac{T - T _{c}}{T _{c}}$
で与えられるとする（ $a > 0, b > 0$ は定数、 $f_{0} (T)$ は $T_{c}$ の前後でなめらかな関数）。平衡状態は $f$ を $m$ について最小にする状態とし、単位体積あたりの比熱を $c = - T \partial^{2} f_{eq} / \partial T^{2}$ （ $f_{eq}$ は平衡での $f$ ）とする。比熱のとび $Δ c = lim_{T \to T_{c} - 0} c - lim_{T \to T_{c} + 0} c$ を $a, b, T_{c}$ で求めよ。

例題の解答

手順 1: $h = 0$ の状態方程式は $\partial f / \partial m = a t m + b m^{3} = m (a t + b m^{2}) = 0$ 。

手順 2: $t > 0$ では $a t + b m^{2} > 0$ なので解は $m = 0$ だけで、 $f_{eq} = f_{0} (T)$ 。 $t < 0$ では $m = 0$ のほかに $m^{2} = - a t / b$ が解で、 $\partial^{2} f / \partial m^{2} = a t + 3 b m^{2} = - 2 a t > 0$ よりこちらが最小（ $m = 0$ では $\partial^{2} f / \partial m^{2} = a t < 0$ で極大）。

手順 5: $t < 0$ で $m^{2} = - a t / b$ を代入すると
$f_{eq} = f_{0} + \frac{a}{2} t (- \frac{a t}{b}) + \frac{b}{4} \cdot \frac{a ^{2} t ^{2}}{b ^{2}} = f_{0} - \frac{a ^{2} t ^{2}}{2 b} + \frac{a ^{2} t ^{2}}{4 b} = f_{0} - \frac{a ^{2}}{4 b} t^{2} .$
$\frac{d ^{2}}{d t ^{2}} (- \frac{a ^{2}}{4 b} t^{2}) = - \frac{a ^{2}}{2 b}$ なので
$c (T < T_{c}) = - T f_{0}^{''} (T) + \frac{T}{T _{c}^{2}} \cdot \frac{a ^{2}}{2 b}, c (T > T_{c}) = - T f_{0}^{''} (T) .$
$f_{0}$ の部分は $T_{c}$ で連続なので差では消え、 $T \to T_{c}$ として
$Δ c = \frac{T _{c}}{T _{c}^{2}} \cdot \frac{a ^{2}}{2 b} = \frac{a ^{2}}{2 b T _{c}} .$
比熱は発散せず有限のとびをもつので $α = 0$ である。

答え: $\frac{a ^{2}}{2 b T _{c}}$

よくある誤り

$t < 0$ の帯磁率で $χ^{- 1} = a t + b m^{2}$ としてしまう誤り（これに $m^{2} = - a t / b$ を入れると 0 になり発散してしまう）。正しくは状態方程式 $h = a t m + b m^{3}$ を $h$ で微分して $χ^{- 1} = a t + 3 b m^{2} = - 2 a t = 2 a ∣ t ∣$ 。 $t > 0$ の $χ^{- 1} = a t$ と比べて $γ = 1$ 、 $Γ_{+} / Γ_{-} = \frac{1/ a}{1/ ( 2 a )} = 2$ （逆数の $1/2$ ではない）。
$t < 0$ でも $m = 0$ を平衡解としてしまう誤り。 $m = 0$ では $\partial^{2} f / \partial m^{2} = a t < 0$ で極大なので、正しくは $m = \pm - a t / b$ をとり、 $m \propto (- t)^{1/2}$ から $β = \frac{1}{2}$ 。
比熱にとびがあるので $α$ を「発散」と考えたり、 $f_{eq} \propto t^{2}$ から $α = 2$ としてしまう誤り。 $c \propto - d^{2} f_{eq} / d t^{2}$ は $T_{c}$ の上下で定数（ $0$ と $\frac{a ^{2}}{2 b T _{c}}$ ）なので、正しくは $α = 0$ （有限のとび）。
三重臨界点（ $f = \frac{a}{2} t m^{2} + \frac{c}{6} m^{6} - hm$ ）で $m^{4}$ 型の値をそのまま使う誤り。正しくは $m^{4} = - a t / c$ から $β = \frac{1}{4}$ 、 $h = c m^{5}$ から $δ = 5$ 、 $χ^{- 1} = a t + 5 c m^{4} = - 4 a t$ から $γ = 1, Γ_{+} / Γ_{-} = 4$ 、 $f_{eq} = - \frac{1}{3} a ∣ t ∣ a ∣ t ∣/ c \propto ∣ t ∣^{3/2}$ から $c \propto ∣ t ∣^{- 1/2}$ で $α = \frac{1}{2}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
一様な秩序変数 $m$ （実数）をもつ系の単位体積あたりのランダウ自由エネルギーが、外場がないとき
$f (T, m) = f_{0} (T) + \frac{a}{2} t m^{2} + \frac{b}{4} m^{4}, t = \frac{T - T _{c}}{T _{c}}$
で与えられる。 $a > 0$ , $b > 0$ は温度によらない定数、 $T_{c} > 0$ は転移温度、 $f_{0} (T)$ は $m$ によらない滑らかな関数である。熱平衡では $f$ が $m$ について最小となる値をとる。
単位体積あたりの比熱を $c = - T \frac{\partial ^{2} f _{eq}}{\partial T ^{2}}$ （ $f_{eq}$ は平衡での自由エネルギー）で定めるとき、転移点での比熱のとび
$Δ c = T \to T_{c} - 0 lim c - T \to T_{c} + 0 lim c$
を $a$ , $b$ , $T_{c}$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
一様なスカラー秩序変数 $m$ （実数）をもつ系の三重臨界点近傍を、次のランダウ自由エネルギー密度で記述する。
$f (m) = \frac{a}{2} t m^{2} + \frac{u}{6} m^{6} - h m$
ここで $a > 0$ , $u > 0$ は定数、 $t = (T - T_{c}) / T_{c}$ は換算温度、 $h$ は秩序変数に共役な外場（実数）である。 $m^{4}$ の係数は $0$ に調整されているものとする。熱平衡状態の $m$ は $f (m)$ を最小にする値で与えられ、ゆらぎは無視する（平均場近似）。
臨界指数と振幅を次のように定義する。
- $h = 0$ , $t \to 0^{-}$ で $∣ m ∣ \propto (- t)^{β}$
- $h \to 0$ での帯磁率 $χ = \frac{\partial m}{\partial h}_{h \to 0}$ が $t \to 0^{\pm}$ で $χ ≃ Γ_{\pm} ∣ t ∣^{- γ}$ （ $t < 0$ では自発的に対称性が破れた平衡状態の一方で評価する）
- $t = 0$ , $h \to 0^{+}$ で $m \propto h^{1/ δ}$
$β$ , $γ$ , $δ$ , $Γ_{+} / Γ_{-}$ をこの順に組で求めよ。

この技能の次に学べること

ワイスの分子場近似（大学院物理相転移と繰り込み群）
スケーリング則（大学院物理相転移と繰り込み群）