相転移と繰り込み群の問題

3 次元ユークリッド空間で、1 方向（$\tau$ 方向）だけを長さ $L$ でコンパクト化し、残りの 2 方向 $\mathbf{r}=(x,y)$ は無限に広い系（$S_L^1\times {\mathbb{R}}^2$）を考える。この上の $N$ 成分の実スカラー場 $\mathbf{n}(x)$（制約 $\mathbf{n}\cdot \mathbf{n}=1$）からなる $O(N)$ 非線形シグマ模型
$$S=\frac{N}{2g}\int d^{3}x\left[({\partial }_{\mu }\mathbf{n}{)}^2+i\lambda (x)\left(\mathbf{n}\cdot \mathbf{n}-1\right)\right]$$
を考える。ただし $\tau$ 方向には、すべての成分の符号を反転させる反周期的（ねじれ）境界条件
$$\mathbf{n}(\tau +L,\mathbf{r})=-\mathbf{n}(\tau ,\mathbf{r})$$
を課す（$\mathbf{n}\to -\mathbf{n}$ は $O(N)$ の元なので制約と作用を保つ）。

$N\to \infty$ の主要次数（鞍点近似）で扱う。鞍点では $i\lambda =m^2$（$m^2$ は実定数）となり、
$$⟨n_a(x)n_b(x^{\prime })⟩={\delta }_{ab}\frac{g}{N}G(x,x^{\prime }),G={\left(-{\partial }^2+m^2\right)}^{-1}$$
（$G$ は上の反周期的境界条件を満たすグリーン関数）で、$m^2$ は制約条件 $gG(x,x)=1$（ギャップ方程式）で決まる。運動量積分には 3 次元運動量に対する紫外カットオフ $\Lambda$ を入れ、$\Lambda L\to \infty$ の極限をとる。

結合定数 $g$ は無秩序相 $g>g_c$ にあり、無限系（$L\to \infty$）でのギャップ $\Delta >0$ を用いて
$$\frac{1}{g}={\int }^{\Lambda }\frac{d^{3}k}{(2\pi {)}^3}\frac{1}{k^2+{\Delta }^2}$$
で与えられるとする。さらに $L$ は $\Delta L=2\log \frac{5}{2}$ を満たすとする。自然単位系を用い、$\log$ は自然対数とする。

この系で、相関関数 $⟨\mathbf{n}(\tau ,\mathbf{r})\cdot \mathbf{n}(\tau ,0)⟩$ が $|\mathbf{r}|\to \infty$ で $e^{-|\mathbf{r}|/\xi }$（べき因子を除く）のように減衰するときの相関長 $\xi$ を定義する。比 $\xi /L$ を、正確な値（$\pi$ と対数と根号を用いた式）で求めよ。

一様な秩序変数 $m$（実数）をもつ系の単位体積あたりのランダウ自由エネルギーが、外場がないとき
$$f(T,m)=f_0(T)+\frac{a}{2}t{m}^2+\frac{b}{4}{m}^4,t=\frac{T-T_c}{T_c}$$
で与えられる。$a>0$, $b>0$ は温度によらない定数、$T_c>0$ は転移温度、$f_0(T)$ は $m$ によらない滑らかな関数である。熱平衡では $f$ が $m$ について最小となる値をとる。

単位体積あたりの比熱を $c=-T\frac{{\partial }^2{f}_{\text{eq}}}{\partial T^2}$（$f_{\text{eq}}$ は平衡での自由エネルギー）で定めるとき、転移点での比熱のとび
$$\Delta c=\underset{T\to T_c-0}{\lim }c-\underset{T\to T_c+0}{\lim }c$$
を $a$, $b$, $T_c$ を用いて表せ。

$d=4-ϵ$ 次元の $n$ 成分実スカラー場 ${\varphi }_a(\mathbf{x})$ $(a=1,\dots ,n)$ に対する、次のランダウ・ギンツブルグ・ウィルソン型のハミルトニアン（ボルツマン因子は $e^{-\mathcal{H}}$）を考える。
$$\mathcal{H}=\int d^{d}x\left[\frac{1}{2}\sum _a(\nabla {\varphi }_a{)}^2+\frac{r}{2}\sum _a{\varphi }_a^2+\frac{1}{2}\sum _{a,b}{g}_{ab}{\varphi }_a{\varphi }_b+u(\sum _a{\varphi }_a^2{)}^2\right]$$
ここで $n\ge 2$ は整数、$r,u$ は実数で $u>0$、$g_{ab}$ は実対称かつトレースが $0$（${\sum }_a{g}_{aa}=0$）の行列で、$O(n)$ 対称性を破る 2 次の異方性を表す。運動量の切断を $\Lambda$ とする。

$g_{ab}=0$ のときのウィルソン・フィッシャー固定点のまわりで、$r$ に対応する繰り込み群の固有値を $y_t$、$g_{ab}$ に対応する固有値を $y_g$ とし、クロスオーバー指数を $\Phi =y_g/y_t$（$=y_g\nu$）で定義する。運動量殻を積分する繰り込み群を 1 ループで扱い、$\Phi$ を $ϵ$ の 1 次まで求めよ（答えは $n,ϵ$ の式で、${ϵ}^2$ 以上の項は書かない）。

3 状態ポッツ模型をダイヤモンド型階層格子の上で考える。各スピン ${\sigma }_i$ は $1,2,3$ のいずれかの値をとる。換算ハミルトニアンは
$$-\beta \mathcal{H}=K\sum _{⟨ij⟩}{\delta }_{{\sigma }_i,{\sigma }_j}(K>0)$$
である。和は格子のすべてのボンドについてとる。

この格子は次の操作をくり返して作る。1 本のボンドを、両端の 2 点を結ぶ 2 本の並列な経路に置き換える。それぞれの経路は、内部スピン 1 個をはさんで直列につながった 2 本のボンドからなる（1 本のボンドが 4 本のボンドと内部スピン 2 個からなる「ひし形」になる）。逆に、ひし形の内部スピン 2 個についての和を厳密にとる（デシメーション）と、両端を結ぶ 1 本の有効ボンドに戻る。その結合定数を $K^{\prime }$ とする。これにより厳密な繰り込み変換 $K\to K^{\prime }$ が得られる。この変換で長さの尺度は $b=2$ 倍になる（両端の間の最短経路のボンド数が $2$ から $1$ になる）。

この変換には $0<K^{\ast }<\infty$ を満たす非自明な固定点 $K^{\ast }$ がある。$K^{\ast }$ のまわりで変換を線形化した固有値を $\lambda ={\frac{d{K}^{\prime }}{dK}|}_{K=K^{\ast }}$ とする。相関長の臨界指数 $\nu$ は $\xi \propto |K-K^{\ast }{|}^{-\nu }$ で定義され、$\nu =\frac{\log b}{\log \lambda }$ で与えられる。$\nu$ を自然対数を用いた閉じた形で求めよ。

正方格子（格子点数 $N$、周期境界条件、$N\to \infty$）の各格子点にイジングスピン $s_i=\pm 1$ がある。さらに、正方格子の最近接格子点の組（ボンド）$⟨ij⟩$ のそれぞれに、2 個の「装飾スピン」${\sigma }_{ij}^{(1)},{\sigma }_{ij}^{(2)}=\pm 1$ を並列に置く。ハミルトニアンは
$$H=-J\sum _{⟨ij⟩}\sum _{a=1}^2{\sigma }_{ij}^{(a)}(s_i+s_j)(J>0)$$
とする。すなわち、各装飾スピンはそのボンドの両端の格子点スピンとだけ結合定数 $J$ で相互作用し、格子点スピンどうし・装飾スピンどうしの直接の相互作用や外部磁場はない。この系は温度 $T_c$ でただ 1 つの相転移を示す。$k_B{T}_c/J$ の正確な値を、根号と自然対数 $\log$ を用いた式で求めよ。ただし、異方性のない正方格子イジング模型（最近接結合のみ）の臨界点についてはオンサーガーの厳密解を用いてよい。